1.1 FUNZIONI: CARATTERI GENERALI

Gli argomenti di questo capitolo sono già stati in parte trattati nel capitolo “Funzioni” di Algebra I

1. (A) Che cos’è una funzione?

[Dati due insiemi A e B, una funzione è una relazione che associa a ogni elemento di A uno e un solo elemento di B. Esempio: dato un insieme di persone, la relazione che associa a ciascuna di esse la sua età è una funzione (ciascuna persona ha una sola età). Controesempio: dato un insieme di persone, la relazione che associa a ciascuna di esse la sua automobile non è una funzione, perché alcune persone potrebbero non avere un’automobile e altre averne più di una.]

2. (A) Che cosa significa l’espressione “uno e uno solo” nella definizione di funzione come relazione che associa ad ogni elemento di A uno e un solo elemento di B? [

3. (A) Per il fatto che una funzione associa ad ogni elemento di A un unico elemento di B, come viene anche chiamata la funzione?

[Corrispondenza univoca.]

4. (B) In quale altro modo viene chiamata una funzione oltre che corrispondenza univoca?

[Applicazione.]

5. (B) Quali di queste relazioni sono funzioni?

[Quelle rappresentate nelle figure 2 e 4. Infatti, a ogni elemento di A è associato uno e un solo elemento di B. Invece nella figura 1 all’elemento c di A sono associati due elementi di B (f e g); nella figura 3 ad un elemento di A (b) non è associato alcun elemento di B. È da notare che anche nelle funzioni non tutti gli elementi di B sono associati a elementi di A, ma questo non contraddice affatto la definizione di funzione. È da notare inoltre che nella figura 4 su uno stesso punto di B (f) convergono due frecce provenienti da due diversi punti di A (b e c), ma anche questo non contraddice affatto la definizione di funzione.]

6. (A) Con quali tipi di lettere generalmente vengono indicate le funzioni?

[Con lettere minuscole, tipo: f, g…]

7. (A) Come si indica una funzione f che associa ad ogni elemento dell’insieme A uno e un solo elemento dell’insieme B?

[f: A → B oppure, se x ∈ A e y ∈ B è l’elemento associato a x, si scrive anche y = f(x).]

8. (A) Data la funzione che associa ad ogni elemento dell’insieme A uno e un solo elemento dell’insieme B, come si chiamano, rispettivamente, A e B?

[A si chiama insieme di partenza o dominio, B insieme di arrivo o codominio. Per riferirsi a una funzione che ha come dominio A e come codominio B, possiamo dire che è una funzione da A a B.]

9. (A) Data la funzione y = f(x), che associa ad ogni elemento x del dominio A uno e un solo elemento y del codominio B, che cosa sono, rispettivamente, l’immagine e la controimmagine?

[y è l’immagine di x tramite la funzione f; x è la controimmagine di y. Quindi le immagini stanno nel codominio, mentre le controimmagini stanno nel dominio.]

10. (B) Che cos’è l’insieme immagine di una funzione?

[È l’insieme degli elementi del codominio che sono immagini di almeno un elemento del dominio. L’insieme immagine è quindi un sottoinsieme del codominio e può coincidere con esso.]