4.2 PRODOTTO CARTESIANO E RELAZIONI

1. PRODOTTO CARTESIANO

1. (A) Che cos’è il prodotto cartesiano di due insiemi A e B non vuoti?

[È l’insieme formato da tutte le coppie ordinate che hanno come primo termine un elemento di A e come secondo termine un elemento di B.]

2. (A) Come si indica in simboli il prodotto cartesiano di due insiemi A e B?

[A × B, che si legge “A cartesiano B”.]

3. (B) Dati l’insieme A = {a, b, c} e l’insieme B = {1, 2}, qual è il prodotto cartesiano A × B?

[A × B = {(a, 1); (a, 2); (b, 1); (b, 2); (c, 1); (c, 2)}.]

4. (B) Il prodotto cartesiano gode della proprietà commutativa?

[No: A × B ≠ B × A.]

5. (C) Perché il prodotto cartesiano non gode della proprietà commutativa?

[Perché le coppie che costituiscono gli elementi del prodotto cartesiano sono coppie ordinate.

Esempio: la coppia (a, 1) di A × B è diversa dalla coppia (1, a) di B × A.]

2. RELAZIONI

2.1 RELAZIONE BINARIA TRA DUE INSIEMI

6. (A) Che cos’è una relazione binaria (o, semplicemente, relazione) tra due insiemi A e B?

[È un insieme di coppie di elementi, in cui il primo elemento appartiene ad A e il secondo appartiene a B.

Esempio: dato l’insieme A = {Roma, Parigi, Londra} e l’insieme B = {Spagna, Italia, Francia, Regno Unito, Germania} una relazione possibile è data dal seguente insieme C = {(Roma, Spagna), (Parigi, Francia), (Londra, Italia)}.

Attenzione: non ha importanza se gli elementi della coppia non hanno nulla a che fare l’uno con l’altro (nell’esempio, qui sopra: non importa se Roma non è una città della Spagna, né Londra lo è dell’Italia). Diverso è il caso del concetto di funzione. Tuttavia alcuni manuali delle medie, per semplificare le cose, tendono a far coincidere il concetto di relazione con quello di funzione.]

7. (A) In che rapporto è una relazione binaria tra due insiemi A e B con il prodotto cartesiano A × B?

[Una relazione binaria tra due insiemi A e B determina un sottoinsieme del prodotto cartesiano A × B.

Esempio: dati gli insiemi A = {1, 2, 3} e B = {pari, dispari}, la relazione che associa gli elementi 1 e 3 di A con l’elemento dispari di B e l’elemento 2 di A con l’elemento pari di B, individua l’insieme C = {(1, dispari); (2, pari); (3, dispari)} che è un sottoinsieme del prodotto cartesiano A × B = {(1, pari); (1, dispari); (2, pari); (2, dispari); (3, pari); (3, dispari)}.]

8. (A) Com’è anche detta una relazione binaria tra due insiemi A e B?

[Corrispondenza tra A e B o, semplicemente, relazione tra A e B.]

9. (A) Con quale simbolo si indica una relazione?

[Con ℜ.]

10. (A) Come sono detti, rispettivamente, l’insieme A e l’insieme B tra cui c’è una relazione (o corrispondenza)?

[L’insieme A “insieme di partenza”; l’insieme B “insieme di arrivo”.]

2.2 RELAZIONE INVERSA

11. (B) Data la relazione ℜ tra A e B, che cos’è la relazione inversa di ℜ?

[È la relazione che si ottiene invertendo l’ordine degli elementi di ogni coppia di ℜ.

Esempio: dati gli insiemi A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {2, 4, 6, 8, 10}, e la relazione ℜ: “è la metà di”, la relazione inversa ℜ⁻ è “è il doppio di”.]

12. (B) Qual è il simbolo di relazione inversa?

[𝕽⁻.]