5.3 RISOLUZIONE DI UN’EQUAZIONE PURA

1. (A) Qual è la soluzione di un’equazione pura tipo $a{x}^2+c=0$? [

2. (B) Perché se in un’equazione pura (tipo $a{x}^2+c=0$) a e c sono concordi l’equazione è impossibile?

[Per capirlo bisogna notare che l’equazione deve essere risolta rispetto a $x^2$ (x alla seconda), prima ancora che rispetto a x (x con esponente sottinteso 1).]

3. (B) Come si risolve un’equazione pura (tipo $a{x}^2+c=0$) rispetto a $x^2$?

[Riconducendola alla forma: $x^2=-\frac{c}{a}$. Per passare dalla forma $a{x}^2+c=0$ alla forma equivalente $x^2=-\frac{c}{a}$, occorre, prima, trasportare c nel secondo membro cambiandogli il segno: $a{x}^2=-c$, poi dividere per a entrambi i membri: $\frac{a}{a}{x}^2=-\frac{c}{a}$.]

4. (B) Perché, se in un’equazione pura (tipo $a{x}^2+c=0$) a e c sono concordi, l’equazione è impossibile (sapendo che per risolvere tale equazione bisogna prima trasformarla in $x^2=-\frac{c}{a}$)?

[Perché se a e c sono concordi allora il rapporto $-\frac{c}{a}$ è negativo, allora $x^2=-\frac{c}{a}$ è impossibile, dato che nessun numero reale x ha per quadrato un numero negativo.]

5. (B) Perché se a e c dell’equazione $a{x}^2+c=0$ sono concordi, allora il rapporto $-\frac{c}{a}$ dell’equazione equivalente $x^2=-\frac{c}{a}$ è negativo?

[Perché il rapporto $\frac{c}{a}$ è positivo (segno +) sia che i termini siano entrambi positivi sia che siano entrambi negativi, ma poiché tale rapporto nel caso in esame è preceduto dal segno −, esso diventa negativo.

Esempio 1: in $5x^2+3=0$ i coefficienti +5 e +3 sono concordi quindi il loro rapporto $\frac{+3}{+5}$ è positivo $(+\frac{3}{5})$, ma (attenzione!) quando si trasforma l’equazione $5x^2+3=0$ trasportando il termine noto (+3) al secondo membro, esso cambia di segno: $5x^2=-3$. Quindi, dividendo per il coefficiente 5 dell’incognita entrambi i membri, abbiamo $x^2=\frac{-3}{+5}$ che diventa $x^2=-\frac{3}{5}$.

Esempio 2: un discorso analogo vale per l’equazione $-5x^2-3=0$: i coefficienti −5 e −3 sono concordi. In questo caso i passaggi sono: $-5x^2=+3\to x^2=\frac{+3}{-5}\to x^2=-\frac{3}{5}$. Mentre se a e c sono discordi, come nei casi $-5x^2+3=0$ e $5x^2-3=0$, l’equazione diventa $x^2=\frac{-3}{-5}$, nel primo caso, e $x^2=\frac{+3}{+5}$, nel secondo caso, e quindi $x^2=+\frac{3}{5}$, in entrambi i casi.]

6. (B) Perché, se in un’equazione pura tipo $a{x}^2+c=0$ i coefficienti a e c sono discordi (hanno segno diverso), l’equazione ha due soluzioni reali e opposte: x₁ = +$\sqrt{-\frac{c}{a}}$ ; x₂ = −$\sqrt{-\frac{c}{a}}$ ?

[Perché, per giungere alla soluzione, bisogna trasformare $a{x}^2+c=0$ in $x^2=-\frac{c}{a}$, e il rapporto $-\frac{c}{a}$, essendo c e a per ipotesi discordi, alla fine è positivo, ma il numero x, il cui quadrato è $x^2$, può essere sia positivo che negativo (esempio: $3^2={(-3)}^2=9$).

Esempio 1: l’equazione con coefficienti discordi $2x^2-32=0$ viene risolta così: $2x^2=+32\to \frac{2}{2}{x}^2=+\frac{32}{2}\to x^2=+16\to x=\pm \sqrt{16}\to x_1=+4$ e $x_2=-4$.

Esempio 2: l’equazione con coefficienti discordi $-3x^2+27=0$ viene risolta così: $-3x^2=-27\to \frac{-3}{-3}{x}^2=\frac{-27}{-3}\to x^2=+\frac{27}{3}\to x^2=+9\to x=\pm \sqrt{9}\to x_1=+3$ e $x_2=-3$.]