1.4 DOMINIO NATURALE DI UNA FUNZIONE

1. (A) Data la funzione y = f(x), che cosa si intende per dominio naturale di tale funzione?

[Il più ampio insieme di valori reali della variabile indipendente x per i quali è possibile trovare il corrispondente valore reale della variabile dipendente y.]

2. (A) Come si indica il dominio naturale di una funzione?

[Con D.]

3. (A) Quali funzioni hanno come dominio naturale l’intero insieme ℝ dei numeri reali?

[Le funzioni razionali intere, cioè le funzioni che non hanno la variabile x sotto il segno di radice e che non hanno la x al denominatore.]

4. (B) Qual è il dominio naturale della funzione y = $\frac{3}{x}$?

[È l’insieme dei numeri reali privato dello zero: D = ℝ − {0}. Infatti, x può assumere qualsiasi valore tranne 0, perché non si può dividere un numero reale (in questo caso, 3) per zero. In altri termini, se sostituiamo alla x un qualsiasi numero reale tranne 0, anche il corrispondente valore di y è un numero reale.]

5. (A) Come viene anche chiamato il dominio naturale di una funzione?

[Campo (o insieme) di esistenza della funzione oppure insieme di definizione.]

6. (A) Come viene detta una funzione che ha un certo dominio D?

[Funzione definita nel dominio D, o, semplicemente, funzione definita in D.]

7. (A) Nel fissare il dominio naturale di una funzione, quali condizioni dobbiamo imporre? [

8. (B) Qual è il dominio naturale della seguente funzione: y = $\frac{1}{x-2}$?

[D = ℝ − {2} (il dominio è costituito da tutti i numeri reali tranne il 2). Infatti affinché la funzione sia definita in ℝ, occorre che il denominatore della frazione sia diverso da zero: x − 2 ≠ 0, e ciò è possibile se x ≠ 2 (basta trasportare il −2 dal primo al secondo membro cambiandone il segno).]

9. (B) Qual è il dominio naturale della seguente funzione: y = $\sqrt{x-5}$?

[D = ℝ − {x < 5}. Infatti, affinché la funzione sia definita in ℝ, occorre che il radicando di un radicale con indice pari sia maggiore o uguale a zero (x − 5 ≥ 0) e, nel caso in esame, ciò è possibile per tutti i numeri reali che non sono inferiori a 5. Invece della notazione D = ℝ − {x < 5} si possono anche usare le seguenti notazioni D = [5, +∞) oppure D: x ≥ 5.]

10. (B) Qual è il dominio naturale della seguente funzione: y = $\sqrt{x}$?

[D = ℝ − {x < 0}. Infatti, affinché la funzione sia definita in ℝ, occorre che il radicando di un radicale con indice pari sia maggiore o uguale a zero e ciò non è possibile se x < 0. Invece della notazione D = ℝ − {x < 0} si possono anche usare le seguenti notazioni D = [0, +∞) oppure D: x ≥ 0.]

11. (B) Qual è il dominio naturale della seguente funzione: y = $\sqrt{x^2-1}$?

[D = (−∞, −1] ∪ [1, +∞). Infatti affinché la funzione sia definita in ℝ, occorre che il radicando sia maggiore o uguale a zero (x² − 1 ≥ 0) e ciò avviene per x ≤ −1 oppure x ≥ 1. Per risolvere la disequazione x² − 1 ≥ 0, dobbiamo risolvere l’equazione associata x² − 1 = 0, che ha come radici x = −1 e x = 1. Quindi x non può avere valori allo stesso tempo maggiori di −1 e inferiori a 1.]

12. (B) Qual è il dominio naturale della seguente funzione: y = 2x³ + x² −5x + 1?

[D = ℝ, cioè il dominio naturale di tale funzione è l’intero insieme dei numeri reali senza alcuna restrizione; questo perché y = 2x³ + x² −5x + 1 è una funzione intera e razionale: essendo intera (non fratta), non c’è il problema di dover porre la condizione che il denominatore deve essere diverso da zero; essendo razionale, non c’è il problema di porre la condizione che il radicando deve essere maggiore o uguale a zero.]