1.7 STUDIO DEL SEGNO DI UNA FUNZIONE

1. IN GENERALE

1. (A) In che cosa consiste lo studio del segno di una funzione y = f(x)?

[Nello stabilire per quali valori di x la funzione è positiva, per quali valori di x si annulla e per quali valori di x è negativa. Ovviamente i valori di x che possiamo prendere in considerazione sono quelli che appartengono al dominio della funzione in esame.]

2. (A) Come si fa a stabilire per quali valori di x la funzione y = f(x) si annulla?

[Bisogna risolvere l’equazione f(x) = 0. Esempio: per stabilire per quali valori di x la funzione y = x² −2x −3 si annulla, basta risolvere l’equazione x² −2x −3 = 0. Tale equazione ha due radici distinte: x₁ = −1 e x₂ = 3. Ciò significa che, se la x assume i valori −1 e 3, la funzione y = x² −2x −3 si annulla.]

3. (A) Data la funzione y = f(x), come sono detti i valori di x in cui la funzione si annulla: f(x) = 0?

[Zeri della funzione. Esempio: gli zeri della funzione y = x² −2x −3 sono x₁ = −1 e x₂ = 3, ovvero le soluzioni dell’equazione x² −2x −3 = 0.]

4. (A) Com’è il grafico della funzione y = f(x) quando i valori di x la annullano?

[Il grafico interseca l’asse x nei valori di x per cui f(x) = 0. Esempio: il grafico della funzione y = x² −2x −3 interseca l’asse x nei punti di ascissa −1 e 3 che, come abbiamo visto, sono le radici dell’equazione x² −2x −3 = 0.]

5. (A) Come si fa a stabilire per quali valori di x la funzione y = f(x) è positiva?

[Bisogna risolvere la disequazione f(x) > 0. Esempio: per stabilire per quali valori di x la funzione y = x² −2x −3 è positiva bisogna risolvere la disequazione x² −2x −3 > 0. Poiché l’equazione corrispondente ha due radici distinte x₁ = −1 e x₂ = 3, i valori di x che rendono positiva la funzione y = x² −2x −3 sono x < −1 o x > 3.]

6. (A) Com’è il grafico della funzione y = f(x) quando i valori di x la rendono positiva?

[È “al di sopra” dell’asse x.]

7. (A) Come si fa a stabilire per quali valori di x la funzione y = f(x) è negativa?

[Bisogna risolvere la disequazione f(x) < 0. Esempio: per stabilire per quali valori di x la funzione y = x² −2x −3 è negativa bisogna risolvere la disequazione x² −2x −3 < 0. Poiché l’equazione corrispondente ha due radici distinte x₁ = −1 e x₂ = 3, i valori di x che rendono negativa la funzione y = x² −2x −3 sono −1 < x < 3.]

8. (A) Com’è il grafico della funzione y = f(x) quando i valori di x la rendono negativa?

[È “al di sotto” dell’asse x.]

2. ESEMPIO

9. (C) Come si fa a stabilire qual è il segno della funzione y = x³ − 2x² − 5x + 6?

[Per prima cosa dobbiamo scomporre in fattori il polinomio x³ − 2x² − 5x + 6 mediante la regola di Ruffini e otteniamo: x³ − 2x² − 5x + 6 = (x − 1)(x² − x − 6).]

10. (C) Una volta che abbiamo scomposto in fattori la funzione y = x³ − 2x² − 5x + 6, come facciamo a determinare quali sono gli zeri della funzione, cioè a stabilire per quali valori di x tale funzione si annulla?

[Risolviamo separatamente le equazioni (x − 1) = 0 e (x² − x − 6) = 0: la radice di x − 1 è x = 1; le radici di x² − x − 6 sono x₁ = −2 e x₂ = 3. Ecco i passaggi. Primo fattore: x − 1 → x = 1. Secondo fattore: Δ = 1² − 4(1)(−6) = 1 + 24 = 25 → x = $\frac{-(-1)\pm \sqrt{25}}{2\left(1\right)}$ → x = $\frac{1\pm 5}{2}$ → x₁ = $\frac{1-5}{2}$ = −2 e x₂ = $\frac{1+5}{2}$ = 3.]

11. (C) Una volta che abbiamo ricavato gli zeri della funzione y = x³ − 2x² − 5x + 6, come facciamo a determinare il segno della funzione stessa?

[Per prima cosa compiliamo lo schema dei segni:]

12. (C) Osservando lo schema dei segni della funzione y = x³ − 2x² − 5x + 6, quali sono i valori di x quando tale funzione ha segno positivo e quali sono i valori di x quando invece ha segno negativo? [