1.8 METODO DI CRAMER

1. (A) Quanti e quali determinanti possono essere associati a un sistema di equazioni?

[Tre:

il determinante del sistema, che si indica con D;
il determinante dell’incognita x, che si indica con $D_{x}$ ;
il determinante dell’incognita y, che si indica con $D_{y}$ .]

2. (A) Dato il sistema lineare di due equazioni in due incognite in forma normale ${\begin{matrix} a x + b y = c \\ a^{'} x + b^{'} y = c^{'} \end{matrix}$ , qual è il determinante D del sistema?

[ $D = | \begin{matrix} a & b \\ a^{'} & b^{'} \end{matrix} | = a b^{'} - a^{'} b$ , cioè è il determinante della matrice dei coefficienti del sistema. È anche detto determinante dei coefficienti.]

3. (A) Dato il sistema lineare di due equazioni in due incognite in forma normale ${\begin{matrix} a x + b y = c \\ a^{'} x + b^{'} y = c^{'} \end{matrix}$ , qual è il determinante $D_{x}$ del sistema?

[ $D_{x} = | \begin{matrix} c & b \\ c^{'} & b^{'} \end{matrix} | = c b^{'} - c^{'} b$ . Rispetto a D, abbiamo sostituito i coefficienti di x (cioè i coefficienti della prima colonna) con i termini noti c e c′.]

4. (A) Dato il sistema lineare di due equazioni in due incognite in forma normale ${\begin{matrix} a x + b y = c \\ a^{'} x + b^{'} y = c^{'} \end{matrix}$ , qual è il determinante $D_{y}$ del sistema?

[ $D_{y} = | \begin{matrix} a & c \\ a^{'} & c^{'} \end{matrix} | = a c^{'} - a^{'} c$ . Rispetto a D, abbiamo sostituito i coefficienti di y (cioè i coefficienti della seconda colonna) con i termini noti c e c′.]

5. (A) Che cosa afferma il teorema detto metodo (o regola) di Cramer?

[Dato il sistema

{\begin{matrix} a x + b y = c \\ a^{'} x + b^{'} y = c^{'} \end{matrix}

e considerati i determinanti D,

D_{x}

D_{y}

se D ≠ 0, il sistema è determinato e le soluzioni sono $x = \frac{D_{x}}{D}$ , $y = \frac{D_{y}}{D}$ ;
se D = 0 e $D_{x} \neq 0$ o $D_{y} \neq 0$ , il sistema è impossibile;
se $D = D_{x} = D_{y} = 0$ , il sistema è indeterminato.

Il metodo di Cramer non può essere applicato quando D = 0 perché le formule $x = \frac{D_{x}}{D}$ e $y = \frac{D_{y}}{D}$ richiedono una divisione per D, e la divisione per zero non è definita.]

6. (B) Vogliamo risolvere il sistema ${\begin{matrix} x - 5 y = 3 \\ 2 x + 6 y = - 4 \end{matrix}$ con il metodo di Cramer; qual è il primo passo da compiere?

[Calcolare il determinante D del sistema e vedere se è uguale o diverso da 0: $D = | \begin{matrix} 1 & - 5 \\ 2 & 6 \end{matrix} | = 1 \cdot 6 - (2 \cdot (- 5)) = 6 - (- 10) = 6 + 10 = 16$ . Essendo D ≠ 0 (infatti D = 16), il sistema è determinato.]

7. (B) Una volta stabilito che D = 16, quali sono il secondo e il terzo passo da compiere per risolvere il sistema ${\begin{matrix} x - 5 y = 3 \\ 2 x + 6 y = - 4 \end{matrix}$ secondo la regola di Cramer?

[Calcolare $D_{x}$ e $D_{y}$ .]

8. (B) Qual è il determinante $D_{x}$ di ${\begin{matrix} x - 5 y = 3 \\ 2 x + 6 y = - 4 \end{matrix}$ ?

[ $D_{x} = | \begin{matrix} 3 & - 5 \\ - 4 & 6 \end{matrix} | = 3 \cdot 6 - (- 4) \cdot (- 5) = 18 - 20 = - 2$ .]

9. (B) Qual è il determinante $D_{y}$ di ${\begin{matrix} x - 5 y = 3 \\ 2 x + 6 y = - 4 \end{matrix}$ ?

[ $D_{y} = | \begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & - 4 \end{matrix} | = 1 \cdot (- 4) - 2 \cdot 3 = - 4 - 6 = - 10$ .]

10. (B) Una volta stabilito che D = 16, $D_{x}$ = −2, $D_{y}$ = −10, come si procede per trovare la soluzione del sistema ${\begin{matrix} x - 5 y = 3 \\ 2 x + 6 y = - 4 \end{matrix}$ ?

[ $x = \frac{D_{x}}{D} = \frac{- 2}{16} = - \frac{1}{8}$ ; $y = \frac{D_{y}}{D} = \frac{- 10}{16} = - \frac{5}{8}$ . Il sistema ha come soluzione la coppia $(- \frac{1}{8}; - \frac{5}{8})$ .]

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