1.9 SISTEMI LINEARI DI TRE EQUAZIONI IN TRE INCOGNITE

1. DEFINIZIONE

1. (A) Come può essere definito il seguente sistema: $\{\begin{array}{c}x-2y+z=-3\\ x+y-2z=1\\ 3x+y+z=-1\end{array}$?

[Un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite (x, y, z).]

2. (A) Com’è la soluzione di un sistema di tre equazioni in tre incognite?

[È una terna ordinata di numeri reali che rappresenta la soluzione di tutte e tre le equazioni del sistema.]

3. (B) Qual è l’idea fondamentale per risolvere un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite?

[Ridurre il sistema a un sistema equivalente di due equazioni in due incognite e poi risolvere quest’ultimo con uno dei metodi già studiati.]

2. RISOLUZIONE CON IL METODO DI SOSTITUZIONE

4. (B) Dato il seguente sistema di tre equazioni in tre incognite $\{\begin{array}{c}x-2y+2z=3\\ 4x+2y-2z=2\\ x+4y+z=-1\end{array}$, qual è il primo passo per risolvere tale sistema secondo il metodo di sostituzione?

[Ricaviamo una incognita da una delle tre equazioni; per esempio, x dalla prima equazione: $\{\begin{array}{c}x=3+2y-2z\\ 4x+2y-2z=2\\ x+4y+z=-1\end{array}$.

Attenzione :

potevamo decidere anche di partire dalla seconda o dalla terza equazione e da y o da z.]

5. (B) Una volta ottenuto $\{\begin{array}{c}x=3+2y-2z\\ 4x+2y-2z=2\\ x+4y+z=-1\end{array}$, qual è il passo successivo per risolvere il sistema?

[Sostituire l’espressione trovata per x nelle altre due equazioni: $\{\begin{array}{c}x=3+2y-2z\\ 4(3+2y-2z)+2y-2z=2\\ (3+2y-2z)+4y+z=-1\end{array}$.]

6. (B) Una volta ottenuto $\{\begin{array}{c}x=3+2y-2z\\ 4(3+2y-2z)+2y-2z=2\\ (3+2y-2z)+4y+z=-1\end{array}$, come continua il procedimento per la risoluzione del sistema?

[Poiché la seconda e la terza equazione formano un sistema di due equazioni nelle due incognite y e z , scriviamo tale sistema in forma normale e otteniamo $\{\begin{array}{c}+10y-10z=-10\\ +6y-z=-4\end{array}$. Vediamo i passaggi:

$\{\begin{array}{c}4(3+2y-2z)+2y-2z=2\\ (3+2y-2z)+4y+z=-1\end{array}\to \{\begin{array}{c}12+8y-8z+2y-2z=2\\ 3+2y-2z+4y+z=-1\end{array}$

$\to \{\begin{array}{c}+10y-10z=2-12\\ +6y-z=-1-3\end{array}\to \{\begin{array}{c}+10y-10z=-10\\ +6y-z=-4\end{array}$.]

7. (B) Una volta ottenuto il sistema $\{\begin{array}{c}+10y-10z=-10\\ +6y-z=-4\end{array}$, come si procede?

[Lo risolviamo con il metodo di riduzione e otteniamo $y=-\frac{3}{5}$. Vediamo i vari passaggi. Decidiamo di eliminare l’incognita z con la somma membro a membro e per questo moltiplichiamo entrambi i membri della seconda equazione per −10 e otteniamo $\{\begin{array}{c}+10y-10z=-10\\ -60y+10z=+40\end{array}$. Quindi sommiamo membro a membro le due equazioni e otteniamo −50y = +30. Isoliamo la y: $\frac{-50}{-50}y=\frac{30}{-50}$. Quindi $y=\frac{-30}{50}=-\frac{3}{5}$.]

8. (B) Una volta che abbiamo ottenuto il valore di $y=(-\frac{3}{5})$, come facciamo ad ottenere il valore di z?

[Basta sostituire il valore di y in una delle due equazioni del sistema, per esempio in +10y − 10z = −10 e svolgere l’equazione; il risultato a cui giungiamo è $z=\frac{2}{5}$.

Vediamo: $+10(-\frac{3}{5})-10z=-10\to \frac{-30}{5}-10z=-10\to -6-10z=-10$
$\to -10z=-10+6\to -10z=-4\to z=\frac{-4}{-10}\to z=\frac{2}{5}$.]

9. (B) Ora che abbiamo i valori delle incognite y e z ($y=-\frac{3}{5}$ e $z=\frac{2}{5}$), come si fa a conoscere il valore di x?

[Basta sostituire i valori di y e z nell’equazione x = 3 + 2y − 2z e svolgere i calcoli; il risultato che si ottiene è x = 1. Vediamo: $x=3+2y-2z\to x=3+2(-\frac{3}{5})-2\left(\frac{2}{5}\right)\to x=3-\frac{6}{5}-\frac{4}{5}\to x=\frac{15-6-4}{5}\to x=\frac{5}{5}\to x=1$. In conclusione, la soluzione del sistema è data dalla terna $(1;-\frac{3}{5};\frac{2}{5})$.]