1.10 SISTEMI LETTERALI

1. (A) Che cos’è un sistema letterale?

[Un sistema di equazioni che, oltre alle incognite, contiene anche altre lettere che non sono le incognite. Esempio: il sistema $\{\begin{array}{c}+2ax-3y=-4\\ -ax+y=+2\end{array}$ nelle incognite x e y contiene in entrambe le equazioni una lettera che non è un’incognita: a.]

2. (A) Come si chiamano le lettere dei sistemi letterali che non sono incognite?

[Parametri.]

3. (A) Per risolvere un sistema letterale occorre eseguire quella che viene chiamata una discussione, di cosa si tratta?

[Si tratta di escludere i valori dei parametri che fanno perdere significato ad almeno una delle equazioni del sistema e stabilire se il sistema è determinato, indeterminato o impossibile, e, nel caso che sia determinato, trovare la soluzione in funzione dei parametri.]

4. (B) Come si svolge la risoluzione del seguente sistema nelle incognite x e y $\{\begin{array}{c}x-y=5\\ ax+3y=2\end{array}$, con il metodo del confronto fino alla discussione riguardante il parametro a?

[$\{\begin{array}{c}-x+y=5\\ ax+3y=2\end{array}\to \{\begin{array}{c}y=5+x\\ 3y=2-ax\end{array}\to \{\begin{array}{c}y=5+x\\ y=\frac{2-ax}{3}\end{array}$

$\to \{\begin{array}{c}y=5+x\\ 5+x=\frac{2-ax}{3}\end{array}$ (nella seconda equazione abbiamo sostituito y con il valore che essa ha nella prima equazione, ovvero con 5 + x) $\to \{\begin{array}{c}y=5+x\\ 3(5+x)=\frac{2-ax}{3}\cdot 3\end{array}$

(moltiplichiamo per 3 entrambi i membri della seconda equazione per eliminare il 3 al denominatore del secondo membro) $\to \{\begin{array}{c}y=5+x\\ 15+3x=2-ax\end{array}\to \{\begin{array}{c}y=5+x\\ ax+3x=2-15\end{array}\to \{\begin{array}{c}y=5+x\\ (a+3)x=-13\end{array}$. A questo punto possiamo cominciare la discussione sul parametro a.

Attenzione :

abbiamo deciso arbitrariamente di risolvere il sistema con il metodo del confronto, ma sarebbe stato possibile anche con altri metodi (sostituzione, riduzione, Cramer).]

5. (A) Una volta che siamo arrivati a questo sistema $\{\begin{array}{c}y=5+x\\ (a+3)x=-13\end{array}$, qual è la discussione sul parametro a?

6. (A) Nell’ipotesi che a ≠ −3, qual è la soluzione del sistema $\{\begin{array}{c}y=5+x\\ (a+3)x=-13\end{array}$?

[$(-\frac{13}{a+3};\frac{5a+2}{a+3})$. Tale risultato si ottiene così: $\{\begin{array}{c}y=5+x\\ (a+3)x=-13\end{array}\to \{\begin{array}{c}y=5+x\\ \frac{a+3}{a+3}x=\frac{-13}{a+3}\end{array}$

$\to \{\begin{array}{c}y=5+x\\ x=-\frac{13}{a+3}\end{array}\to \{\begin{array}{c}y=5-\frac{13}{a+3}\\ x=-\frac{13}{a+3}\end{array}$ (abbiamo sostituito la x della prima equazione con il valore che ha nella seconda equazione) $\to \{\begin{array}{c}y=5-\frac{5a+15-13}{a+3}\\ x=-\frac{13}{a+3}\end{array}\to \{\begin{array}{c}y=\frac{5a+2}{a+3}\\ x=-\frac{13}{a+3}\end{array}$.]