1.11 SISTEMI FRATTI

1. (A) Che cos’è un sistema fratto (o frazionario)?

[È un sistema in cui almeno una delle equazioni è fratta. Esempio: $\{\begin{array}{c}\frac{2}{x-1}+\frac{1}{y+1}=\frac{4}{2x+y}\\ \frac{4}{x+4y}-\frac{2}{3x-y}=-3\end{array}$.]

2. (A) Che cosa occorre fare prima di risolvere e dopo aver risolto un sistema fratto?

[ Prima occorre porre le condizioni di esistenza (C.E.) delle incognite che compaiono al denominatore delle frazioni algebriche; dopo occorre confrontare la soluzione trovata con tali condizioni di esistenza. Il sistema fratto si risolve come qualsiasi altro sistema, ovvero con uno dei metodi che conosciamo (sostituzione, confronto, riduzione, Cramer).]

3. (B) Perché è necessario verificare le condizioni di esistenza di un sistema fratto anche dopo aver trovato la soluzione?

[Perché durante l’eliminazione dei denominatori si possono ottenere soluzioni che rendono nullo qualche denominatore e che quindi non appartengono al sistema di partenza.]

4. (A) Quali sono le condizioni di esistenza del seguente sistema fratto: $\{\begin{array}{c}\frac{1}{x-2y}=\frac{2}{5-3y}\\ 3x-y=7\end{array}$?

[C.E.: x ≠ 2y; $y\ne \frac{5}{3}$ . Infatti, se x fosse uguale a 2y il denominatore del primo membro della prima equazione sarebbe 0; se y fosse uguale a $\frac{5}{3}$, il denominatore del secondo membro della prima equazione sarebbe uguale a 0.]

5. (B) Come si fa ad eliminare i denominatori della prima equazione del sistema $\{\begin{array}{c}\frac{1}{x-2y}=\frac{2}{5-3y}\\ 3x-y=7\end{array}$?

[Si moltiplica ciascuno dei due membri dell’equazione per (x − 2y) (5− 3y) e si ottiene: 5 − 3y = 2 (x − 2y); poi si riduce in forma normale.]

6. (B) Com’è la seguente equazione 5 − 3y = 2 (x − 2y) ridotta in forma normale?

[−2x +y = −5. A tale risultato si arriva così: 5 − 3y = 2 (x − 2y) → 5 − 3y = 2x − 4y → 5 − 3y −2x + 4y = − 5 → −2x + y = − 5. Quindi il sistema da cui siamo partiti $\{\begin{array}{c}\frac{1}{x-2y}=\frac{2}{5-3y}\\ 3x-y=7\end{array}$ è stato trasformato nel seguente sistema $\{\begin{array}{c}-2x+y=-5\\ 3x-y=7\end{array}$.]

7. (B) Come si fa a trovare il valore di x nel sistema $\{\begin{array}{c}-2x+y=-5\\ 3x-y=7\end{array}$ con il metodo di riduzione?

[Si fa la somma algebrica membro a membro delle due equazioni, in modo da eliminare l’incognita y e risolvere l’incognita x; il risultato è x = 2.]

8. (B) Sapendo che x = 2, qual è il valore di y nel sistema $\{\begin{array}{c}\frac{1}{x-2y}=\frac{2}{5-3y}\\ 3x-y=7\end{array}$?

[ y = −1. A tale risultato si arriva facilmente sostituendo 2 a x nella seconda equazione: 6 − y = 7 → − y = 7 − 6 → −y = 1 → y = −1. Ovviamente allo stesso risultato si può arrivare anche sostituendo 2 a x nella prima equazione, ma il calcolo è un po’ più complicato.]