10.1 DISEQUAZIONI LINEARI

Le disequazioni lineari sono state trattate nella lezione “Disequazioni lineari” del corso Algebra I

1. DEFINIZIONE DI DISEQUAZIONE LINEARE

1. (A) Che cos’è una disequazione lineare?

[È una disuguaglianza tra due espressioni che contengono delle incognite. Esempi: $x - 4 < 7$ ; $3 + x > 5$ .]

2. (A) Quali sono i segni di disuguaglianza che legano le due espressioni letterali di una disequazione?

[ $<, >, \leq, \geq$ .]

3. (A) Che cosa sono le soluzioni di una disequazione?

[Tutti i valori che sostituiti alle incognite rendono vera la disuguaglianza. Esempio: 6, 7, 8 sono alcune delle soluzioni di $x - 5 < 2$ .]

4. (A) Quand’è che due disequazioni sono equivalenti?

[Quando hanno le stesse soluzioni.]

2. REGOLE PER RISOLVERE UNA DISEQUAZIONE

5. (A) Come si fa a risolvere una disequazione?

[Si trasforma in una disequazione equivalente più semplice attraverso i principi di equivalenza delle disequazioni.]

6. (A) Che cosa afferma il primo principio di equivalenza delle disequazioni?

[Aggiungendo o sottraendo ai due membri di una disequazione un numero reale o un’espressione algebrica che abbia significato nello stesso insieme di definizione, si ottiene una disequazione equivalente a quella data.

Esempio: la disequazione $2 x - 5 > x + 3$ è equivalente alla disequazione $x - 5 > + 3$ che si ottiene aggiungendo a entrambi i membri della disequazione data $- x$ . Infatti, se, per esempio, sostituiamo 9 (o 10 o 11…) a $x$ in entrambe le disequazioni, entrambe le disequazioni sono vere. Se, invece, sostituiamo 8 (o 7 o 6…) a $x$ in entrambe le disequazioni, entrambe le disequazioni diventano false.]

7. (A) Che cosa afferma il secondo principio di equivalenza delle disequazioni?

[Moltiplicando (o dividendo) entrambi i membri di una disequazione per uno stesso numero reale, si ottiene una disequazione equivalente e dello stesso segno se tale numero è positivo, mentre si ottiene una disequazione equivalente ma di segno opposto se tale numero è negativo.

Attenzione:

il numero reale per il quale entrambi i membri della disequazione vengono moltiplicati o divisi deve essere diverso da 0.

Esempio: $2 x - 5 > x + 3$ è equivalente a $+ 4 (2 x - 5) > + 4 (x + 3)$ ed è equivalente a $- 4 (2 x - 5) < - 4 (x + 3)$ . È da notare che nel primo caso (+4) il segno è rimasto lo stesso (>); nel secondo caso (−4) il segno è diventato l’opposto (<).]

8. (A) È possibile trasportare un termine da un membro a un altro di una disequazione?

[Sì, cambiando il segno del termine trasportato ma non il verso del segno di disequazione. Esempio: $2 x + 7 > 5 x + 4$ è equivalente a $2 x > 5 x + 4 - 7$ .]

9. (A) È possibile cancellare un termine di una disequazione se è presente in entrambi i membri?

[Sì. Esempio: $13 x + 7 \leq - 6 x + 7$ è equivalente a $13 x \leq - 6 x$ .]

10. (A) È possibile cambiare il segno di tutti i termini di una disequazione?

[Sì, e si ottiene una disequazione equivalente ma a condizione di cambiarne il verso. Questo perché per cambiare il segno occorre moltiplicare entrambi i membri per −1 e, in base al secondo principio di equivalenza delle disequazioni se si moltiplicano entrambi i membri di una disequazione si ottiene una disequazione equivalente a condizione di cambiarne il segno. Esempio: $2 x - 5 > x + 3$ è equivalente a $- 2 x + 5 < - x - 3$ .]

3. INTERVALLI

11. (A) Come sono chiamati gli insiemi delle soluzioni delle disequazioni?

[Intervalli.]

12. (A) Come può essere l’intervallo delle soluzioni di una disequazione? [

Limitato se è costituito dai valori compresi tra due numeri;
illimitato se è formato da tutti i valori che precedono un certo numero (intervallo illimitato inferiormente) oppure da tutti i valori che seguono un certo numero (intervallo illimitato superiormente).]

13. (A) L’intervallo che costituisce l’insieme delle soluzioni di una disequazione può essere chiuso o aperto; che cosa significa?

[Può essere chiuso o aperto rispetto a un suo estremo:

è chiuso rispetto a un estremo se tale estremo è compreso nelle soluzioni;
è aperto rispetto a un estremo se tale estremo non è compreso nelle soluzioni.

Nel caso in cui l’intervallo di una disequazione sia limitato, esso può essere chiuso rispetto a un estremo e aperto rispetto a un altro oppure chiuso rispetto a entrambi gli estremi oppure aperto rispetto a entrambi gli estremi.]

14. (A) In quali modi si può rappresentare un intervallo limitato chiuso rispetto a un estremo e aperto rispetto a un altro (per esempio l’intervallo compreso tra 4 e 7, chiuso all’estremo 4 e aperto all’estremo 7)?

[Si può rappresentare in tre modi:

$4 \leq x < 7$
$[4; 7 [$
]

15. (A) In quali modi si può rappresentare un intervallo illimitato inferiormente e chiuso all’estremo 4? [

$x \leq 4$
$] - \infty; 4]$
]

4. INTERPRETAZIONE GRAFICA DI UNA DISEQUAZIONE LINEARE

16. (A) Come si fa a interpretare graficamente una disequazione lineare nella forma $f (x) > 0$ (oppure in una delle tre forme seguenti: $f (x) < 0$ ; $f (x) \geq 0$ ; $f (x) \leq 0$ )? [

Si disegna il grafico della funzione corrispondente $y = f (x)$ , che è una retta;
e si individuano le ascisse ( $x$ ) dei punti di tale retta che hanno ordinata positiva se la disequazione ha segno > (oppure dei punti che hanno ordinata negativa se la disequazione ha segno <, o positiva o uguale a zero se ha segno ≥, o negativa o uguale a zero se ha segno ≤).

Esempio: consideriamo la disequazione

2 x + 5 > 0

, per interpretarla graficamente si disegna il grafico dell’equazione corrispondente

y = 2 x + 5

che è una retta che interseca l’asse

y

nel punto di ordinata 5 e l’asse

x

nel punto di ascissa

\frac{- 5}{2}

(perché

y = 2 x + 5 \to 2 x + 5 = 0 \to 2 x = - 5 \to \frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2} \to x = \frac{- 5}{2}

). I valori di

x

che soddisfano la disequazione sono quelli per cui

y > 0

(cioè sono le ascisse dei punti della retta di equazione

y = 2 x + 5

che hanno l’ordinata positiva). Quindi le

x

che sono soluzioni della disequazione sono tutte le ascisse della semiretta che ha origine in

x = \frac{- 5}{2}

, esclusa proprio

x = \frac{- 5}{2}

, perché in quel punto il valore di

y

è 0 e quindi è un valore escluso dalla disequazione che ha segno > (non ≥).]

Interpretazione grafica della disequazione lineare 2x + 5 maggiore di zero

17. (B) Qual è la rappresentazione grafica della disequazione $\frac{1}{3} x - 2 \leq 0$ ? [

Rappresentazione grafica della disequazione un terzo x meno 2 minore o uguale a zero

]

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