10.2 STUDIO DEL SEGNO DI UN PRODOTTO

1. (B) Per risolvere una disequazione costituita dal prodotto di due binomi, tipo $(x + 2) (4 x - 3) > 0$ , occorre studiare il segno di che cosa?

[Del prodotto al variare dell’incognita $x$ , ma per far ciò occorre prima studiare il segno dei due fattori presi singolarmente.]

2. (A) Qual è lo studio del segno dei due binomi $(x + 2)$ e $(4 x - 3)$ , fattori del prodotto al primo membro della disequazione $(x + 2) (4 x - 3) > 0$ ? [

$x + 2 > 0 \to x > - 2$
$4 x - 3 > 0 \to 4 x > + 3 \to x > \frac{+ 3}{4}$ .]

3. (A) Come si fa a rappresentare i risultati dello studio del segno dei due binomi $(x + 2)$ e $(4 x - 3)$ , fattori della disequazione $(x + 2) (4 x - 3) > 0$ in uno schema grafico (o quadro dei segni o tabella)?

[Si indicano con 0 i valori di $x$ per cui i binomi si annullano e si mette il + negli intervalli con segno positivo e il − negli intervalli con segno negativo:

Schema grafico dello studio del segno dei due binomi

]

4. (A) Come si procede dopo che si sono posti i risultati dello studio del segno dei due binomi $(x + 2)$ e $(4 x - 3)$ , fattori della disequazione $(x + 2) (4 x - 3) > 0$ in uno schema grafico?

[Si determinano i segni del prodotto $(x + 2) (4 x - 3)$ applicando la regola dei segni che si usa per le moltiplicazioni (se i segni di due fattori sono concordi il prodotto ha segno +, se i segni dei due fattori sono discordi il prodotto ha segno −):

]

5. (A) Osservando lo schema grafico qui di seguito, qual è l’insieme delle soluzioni della disequazione $(x + 2) (4 x - 3) > 0$ ?

[ $x < - 2 \lor x > \frac{+ 3}{4}$ . Infatti, poiché la disequazione ha segno “>”, bisogna prendere le soluzioni in cui il prodotto ha valore positivo.]

Rappresentazione dell’insieme delle soluzioni della disequazione

ESEMPIO 1:

6. (B) Data la disequazione $(2 x - 5) (x + 4) \leq 0$ , qual è lo studio del segno dei due binomi $(2 x - 5)$ e $(x + 4)$ che costituiscono i fattori del prodotto al primo membro? [

$2 x - 5 > 0 \to 2 x > 5 \to x > \frac{5}{2}$
$x + 4 > 0 \to x > - 4$ .]

7. (B) Quale schema grafico si ricava dallo studio del segno del prodotto dei binomi al primo membro della seguente disequazione: $(2 x - 5) (x + 4) \leq 0$ ? [

Schema grafico dello studio del segno del prodotto

]

8. (B) Osservando lo schema grafico qui di seguito, qual è l’insieme delle soluzioni della disequazione $(2 x - 5) (x + 4) \leq 0$ ?

[ $- 4 \leq x \leq \frac{+ 5}{2}$ . Infatti, poiché la disequazione ha segno “≤”, bisogna prendere l’intervallo in cui il prodotto ha valore nullo o negativo.]

ESEMPIO 2:

9. (B) Data la disequazione $(6 - x) (x + 1) < 0$ , qual è lo studio del segno dei due binomi $(6 - x)$ e $(x + 1)$ che costituiscono i fattori del prodotto al primo membro? [

$6 - x > 0 \to - x > - 6 \to x < 6$ ( attenzione: per eliminare il segno “−” davanti alla $x$ abbiamo dovuto moltiplicare per −1 entrambi i membri e quindi cambiare il verso del segno della disequazione: da > a <)
$x + 1 > 0 \to x = - 1$ .]

10. (B) Quale schema grafico si ricava dallo studio del segno del prodotto dei binomi al primo membro della seguente disequazione: $(6 - x) (x + 1) < 0$ ? [

]

11. (B) Osservando lo schema grafico qui di seguito, qual è l’insieme delle soluzioni della disequazione $(6 - x) (x + 1) < 0$ ?

[ $- 1 < x < 6$ . Infatti, poiché la disequazione ha segno “<”, bisogna prendere l’intervallo in cui il prodotto ha valore negativo.]

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