10.3 FORMA CANONICA DI UNA DISEQUAZIONE INTERA DI SECONDO GRADO IN UNA INCOGNITA

1. (A) Qual è la forma canonica (o normale) di una disequazione intera di secondo grado in una incognita?

[Una delle seguenti forme:

$a x^{2} + b x + c > 0$ ;
$a x^{2} + b x + c < 0$ ;
$a x^{2} + b x + c \geq 0$ ;
$a x^{2} + b x + c \leq 0$ .]

2. (B) Se una disequazione di secondo grado non si presenta nella forma canonica (normale), è possibile ricondurla alla forma normale?

[Sì, usando i principi di equivalenza e svolgendo le semplificazioni, è sempre possibile ricondurre una disequazione di secondo grado alla forma normale.

Esempio 1: per ridurre in forma normale la disequazione $3 x^{2} + 2 > - 5 x$ , basta portare il termine $- 5 x$ al primo membro cambiandogli il segno: $3 x^{2} + 5 x + 2 > 0$ .

Esempio 2: per ridurre in forma normale la disequazione $3 x + 2 < + 5 x^{2} - 4$ , dobbiamo spostare entrambi i termini dal secondo al primo membro cambiando il loro segno e fare la somma algebrica dei termini noti: $- 5 x^{2} + 3 x + 6 < 0$ .]

3. (B) Come si fa a risolvere una disequazione di secondo grado in forma canonica in una sola incognita?

[Bisogna determinare i valori dell’incognita $x$ per i quali il trinomio del primo membro della disequazione assume il segno richiesto dalla disequazione stessa.

Esempio 1: se la disequazione è $3 x^{2} + 5 x + 2 > 0$ , affinché sia vera, il trinomio $3 x^{2} + 5 x + 2$ deve essere maggiore di 0 (come ci indica il segno >) e quindi avere segno positivo; pertanto, per risolverla, bisogna sapere se ci sono e quali sono i valori di $x$ per cui il trinomio $3 x^{2} + 5 x + 2$ è positivo (maggiore di zero).

Esempio 2: se, invece, la disequazione è $3 x^{2} + 5 x + 2 < 0$ , affinché sia vera, il trinomio $3 x^{2} + 5 x + 2$ deve essere minore di 0 e quindi deve avere segno negativo; pertanto, per risolverla, bisogna sapere se ci sono e quali sono i valori di $x$ per cui il trinomio $3 x^{2} + 5 x + 2$ è negativo (minore di zero). In definitiva, per risolvere una disequazione di secondo grado occorre studiare il segno del trinomio di secondo grado che si trova al primo membro della disequazione ridotta in forma canonica.]

4. (C) Data la disequazione è $2 x^{2} - 4 x + 1 \leq 0$ , come deve essere il trinomio $2 x^{2} - 4 x + 1$ ?

[Minore o uguale a zero (come indica il segno della disequazione).]

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