10.4 IL SEGNO DI UN TRINOMIO DI SECONDO GRADO DEDOTTO DAL GRAFICO

1. STUDIO DEL SEGNO DI UN TRINOMIO DI SECONDO GRADO

1. (A) Che cosa significa studiare il segno di un trinomio di secondo grado tipo $a{x}^2+bx+c$?

[Determinare se tale trinomio nel suo insieme è positivo ($a{x}^2+bx+c>0$), negativo ($a{x}^2+bx+c<0$) o uguale a zero ($a{x}^2+bx+c=0$).]

2. (A) In che modo possiamo studiare il segno di un trinomio di secondo grado: $a{x}^2+bx+c$?

2. GRAFICO DELLA FUNZIONE $y=a{x}^2+bx+c$

3. (A) Come si fa a sapere se il trinomio $a{x}^2+bx+c$ è positivo, nullo o negativo attraverso la funzione $y=a{x}^2+bx+c$?

[Bisogna determinare per quali valori di $x$, $y$ è positivo, nullo o negativo: poiché tra $y$ e $a{x}^2+bx+c$ c’è un’equivalenza, quando $y$ è positivo anche il trinomio $a{x}^2+bx+c$ è positivo, quando $y$ è nullo anche il trinomio è nullo, quando $y$ è negativo anche il trinomio è negativo. Ovviamente determinare per quali valori di $x$, $y$ è positivo, nullo o negativo è un’operazione che si può fare sia a livello grafico che a livello algebrico; in questo capitolo ce ne occupiamo da un punto di vista grafico.]

4. (A) Che cosa rappresenta da un punto di vista grafico la funzione $y=a{x}^2+bx+c$?

[Una parabola.]

5. (B) A quale condizione il grafico della funzione $y=a{x}^2+bx+c$ è una parabola?

[A condizione che $a\ne 0$. Infatti se $a$ fosse uguale a 0, il primo termine sarebbe nullo, e quindi rimarrebbe $y=bx+c$ il cui grafico è una retta. Pertanto qui di seguito analizziamo i casi in cui $a>0$ e $a<0$, ma non il caso in cui $a=0$.]

3. SE $a>0$

6. (A) Qual è il grafico di una funzione $y=a{x}^2+bx+c$ con coefficiente $a$ positivo e $\Delta >0$?

[È una parabola concava verso l’alto (perché $a$ è positivo) che interseca l’asse $x$ nei punti di ascissa $x_1$ e $x_2$.]

7. (A) Osservando una parabola concava verso l’alto, che interseca l’asse $x$ nei punti di ascissa $x_1$ e $x_2$ (con $x_1$ minore di $x_2$), quali punti della parabola hanno ordinata positiva, quali hanno ordinata uguale a zero e quali hanno ordinata negativa?

Esempio: nella parabola di equazione $y=x^2-6x+5$ con soluzioni $x_1=1$ e $x_2=5$, i punti che hanno ordinata positiva ($y>0$) sono quelli che hanno ascissa minore di 1 ($x<1$) e ascissa maggiore di 5 ($x>5$); i punti che hanno ordinata nulla ($y=0$) sono il punto di ascissa 1 ($x_1=1$) e il punto di ascissa 5 ($x_2=5$); i punti che hanno ordinata negativa ($y<0$) sono quelli che hanno ascissa maggiore di 1 e minore di 5 ($1<x<5$). Di conseguenza il trinomio $x^2-6x+5$ è positivo per $x<1$ e $x>5$; nullo per $x=1$ e $x=5$; negativo per $1<x<5$.]

8. (A) Dal fatto che una parabola di equazione $y=a{x}^2+bx+c$ concava verso l’alto che interseca l’asse $x$ nei punti di ascissa $x_1$ e $x_2$ (con $x_1$ minore di $x_2$), ha le ordinate dei punti positive per $x_1<x$ o $x>x_2$, le ordinate dei punti nulle per $x=x_1$ o $x=x_2$ e le ordinate dei punti negative per ($x_1<x<x_2$), che cosa si può dedurre riguardo al segno del trinomio $a{x}^2+bx+c$?

9. (A) Data l’equazione di secondo grado $y=a{x}^2+bx+c$, se $a>0$ e $\Delta =0$, com’è la parabola corrispondente e qual è il segno del trinomio $a{x}^2+bx+c$ (chiamiamo $x_1$ e $x_2$ le due soluzioni nel caso che ci siano, con $x_1<x_2$ nel caso che siano distinte)?

Esempio: nella parabola di equazione $y=x^2-3x+\frac{9}{4}$ con soluzione $x=\frac{3}{2}$ che in forma di numero decimale equivale a 1,5, i punti che hanno ordinata positiva ($y>0$) sono quelli che hanno ascissa minore di 1,5 oppure maggiore di 1,5 ($x<\mathrm{1,5}$ oppure $x>\mathrm{1,5}$) ; l’unico punto che ha ordinata nulla ($y=0$) è il punto di ascissa 1,5 ($x=\mathrm{1,5}$); non ci sono punti che hanno ordinata negativa ($y<0$). Di conseguenza il trinomio $x^2-3x+\frac{9}{4}$ è positivo per $x<\frac{3}{2}$ oppure $x>\frac{3}{2}$ e nullo per $x=\frac{3}{2}$.]

10. (A) Data l’equazione di secondo grado $y=a{x}^2+bx+c$, se $a>0$ e $\Delta <0$, com’è la parabola corrispondente e qual è il segno del trinomio $a{x}^2+bx+c$ (chiamiamo $x_1$ e $x_2$ le due soluzioni nel caso che ci siano, con $x_1<x_2$ nel caso che siano distinte)?

[La parabola è concava verso l’alto e non interseca l’asse delle ascisse (l’equazione non ha soluzioni); il trinomio $a{x}^2+bx+c$ è positivo per qualsiasi valore di $x\in ℝ$ (e $y>0$).

Esempio: tutti i punti della parabola di equazione $y=x^2-6x+10$ hanno ordinata positiva ($y>0$) perché l’equazione ha $\Delta <0$ e quindi è impossibile (non ha soluzioni). Di conseguenza il trinomio $x^2-6x+10$ è positivo per tutti i valori di $x$.]

4. SE $a<0$

11. (A) Data l’equazione di secondo grado $y=a{x}^2+bx+c$, se $a<0$ e $\Delta >0$, com’è la parabola corrispondente e qual è il segno del trinomio $a{x}^2+bx+c$ (chiamiamo $x_1$ e $x_2$ le due soluzioni nel caso che ci siano, con $x_1<x_2$ nel caso che siano distinte)?

Esempio: nella parabola di equazione $y=-x^2+2x+3$ con soluzioni $x_1=-1$ e $x_2=+3$, i punti che hanno ordinata positiva ($y>0$) sono quelli che hanno ascissa maggiore di −1 ($x>-1$) e ascissa minore di 3 ($x<3$); i punti che hanno ordinata nulla ($y=0$) sono il punto di ascissa −1 ($x_1=-1$) e il punto di ascissa 3 ($x_2=3$); i punti che hanno ordinata negativa ($y<0$) sono quelli che hanno ascissa minore di −1 ($x<-1$) e ascissa maggiore di 3 ($x>3$). Di conseguenza il trinomio $-x^2+2x+3$ è positivo per $-1<x<3$; nullo per $x=-1$ e $x=3$; negativo per $x<-1$ e $x>3$.]

12. (A) Data l’equazione di secondo grado $y=a{x}^2+bx+c$, se $a<0$ e $\Delta =0$, com’è la parabola corrispondente e qual è il segno del trinomio $a{x}^2+bx+c$ (chiamiamo $x_1$ e $x_2$ le due soluzioni nel caso che ci siano, con $x_1<x_2$ nel caso che siano distinte)?

Esempio: nella parabola di equazione $y=-x^2+4x-4$ con soluzione $x=2$, non ci sono punti che hanno ordinata positiva ($y>0$); l’unico punto che ha ordinata nulla ($y=0$) è il punto di ascissa 2 ($x=2$); non ci sono punti che hanno ordinata negativa ($y<0$). Di conseguenza il trinomio $-x^2+4x-4$ è negativo per $x<2$ oppure per $x>2$ e nullo per $x=2$.]

13. (A) Data l’equazione di secondo grado $y=a{x}^2+bx+c$, se $a<0$ e $\Delta <0$, com’è la parabola corrispondente e qual è il segno del trinomio $a{x}^2+bx+c$ (chiamiamo $x_1$ e $x_2$ le due soluzioni nel caso che ci siano, con $x_1<x_2$ nel caso che siano distinte)?

[La parabola è concava verso il basso e non interseca l’asse delle ascisse in alcun punto; il trinomio $a{x}^2+bx+c$ è negativo per qualsiasi valore di $x\in ℝ$ (e tutti i punti della parabola hanno ordinata negativa: $y<0$).

Esempio: tutti i punti della parabola di equazione $y=\frac{-2}{3}{x}^2+4x-8$ hanno ordinata negativa ($y<0$) perché l’equazione ha $\Delta <0$ e quindi è impossibile (non ha soluzioni). Di conseguenza il trinomio $y=\frac{-2}{3}{x}^2+4x-8$ è negativo per tutti i valori di $x$.]