10.5 IL SEGNO DI UN TRINOMIO RICAVATO ATTRAVERSO LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI

1. (A) Come si fa a determinare il segno di un trinomio tipo $a{x}^2+bx+c$ attraverso la scomposizione in fattori? [

Come vedremo, nel caso in cui il discriminante dell’equazione associata sia negativo ($\Delta <0$) si deve adottare una procedura un po’ diversa.]

1. SE $\Delta >0$

2. (A) Quante sono e come sono le radici (soluzioni) dell’equazione associata al trinomio $a{x}^2+bx+c$ se tale equazione ha $\Delta >0$, ovvero le radici dell’equazione $a{x}^2+bx+c=0$?

[Sono due numeri reali e distinti $x_1$ e $x_2$.]

3. (A) A quale prodotto corrisponde il trinomio $a{x}^2+bx+c$ se lo scomponiamo in fattori, nel caso in cui l’equazione ad esso associata abbia due soluzioni reali e distinte $x_1$ e $x_2$?

[$a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$.Vedi capitolo “Scomposizione in fattori di un trinomio di secondo grado” della lezione “Equazioni di secondo grado”.]

4. (A) Qual è lo schema grafico che ci permette di studiare il segno del trinomio $a{x}^2+bx+c$, se l’equazione associata $a{x}^2+bx+c=0$ ha $\Delta >0$?

[Ipotizziamo che $x_1<x_2$ e distinguiamo il caso in cui $a>0$ dal caso in cui $a<0$:

]

5. (A) Qual è il segno del trinomio $a{x}^2+bx+c$ (con $a\ne 0$) la cui equazione associata $a{x}^2+bx+c=0$ ha $\Delta >0$? [

Esempio: determiniamo il segno del trinomio $2x^2+4x-6$. Il determinante dell’equazione associata $2x^2+4x-6=0$ è maggiore di zero ($\Delta >0$): $\Delta ={\left(4\right)}^2-4\left(2\right)(-6)=16+48=64$.

Quindi l’equazione ha due radici $x_1$ e $x_2$ che si ottengono così: $x=\frac{-4\pm \sqrt{64}}{2\left(2\right)}=\frac{-4\pm 8}{4}$; $x_1=\frac{-4-8}{4}=\frac{-12}{4}=-3$ e $x_2=\frac{-4+8}{4}=\frac{+4}{4}=1$. Adottando come modello $a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$, scriviamo il trinomio come prodotto di tre fattori: $2x^2+4x-6=2(x+3)(x-1)$. Studiamo il segno del trinomio attraverso il seguente schema grafico:

Come possiamo vedere, il segno del trinomio è concorde con 2 (cioè con il coefficiente di $x^2$) per i valori esterni all’intervallo individuato dalle due soluzioni dell’equazione associata (sono entrambi positivi) ed è discorde da 2 per i valori interni a tale intervallo (quello di 2 è positivo, quello del trinomio è negativo).]

2. SE $\Delta =0$

6. (A) Quante sono e come sono le radici (soluzioni) dell’equazione associata al trinomio $a{x}^2+bx+c$ se tale equazione ha $\Delta =0$?

[Sono due numeri reali identici: $x_1=x_2$.

Attenzione:

poiché $x_1$ e $x_2$ sono identici, nel seguito della spiegazione per riferirci alla doppia soluzione di un’equazione che ha $\Delta =0$ useremo solo $x_1$.]

7. (A) A quale prodotto corrisponde il trinomio $a{x}^2+bx+c$ se lo scomponiamo in fattori, nel caso in cui l’equazione ad esso associata abbia una doppia soluzione, cioè due numeri reali identici?

[$a{x}^2+bx+c=a{(x-x_1)}^2$. Vedi capitolo “Scomposizione in fattori di un trinomio di secondo grado” della lezione “Equazioni di secondo grado”.]

8. (A) Qual è lo schema grafico che ci permette di studiare il segno del trinomio $a{x}^2+bx+c$, se l’equazione associata $a{x}^2+bx+c=0$ ha $\Delta =0$?

[

]

9. (A) Qual è il segno del trinomio $a{x}^2+bx+c$ (con $a\ne 0$) la cui equazione associata $a{x}^2+bx+c=0$ ha $\Delta =0$?

[Il segno del trinomio è concorde con $a$ per tutti i valori di $x$ diversi dalla soluzione dell’equazione associata.

Esempio: determiniamo il segno del trinomio $x^2-4x+4$. Il determinante dell’equazione associata $x^2-4x+4=0$ è uguale a zero ($\Delta =0$): $\Delta ={\left(4\right)}^2-4\left(1\right)\left(4\right)=16-16=0$. Quindi l’equazione ha una doppia radice che si ottiene così: $x=\frac{-(-4)\pm \sqrt{0}}{2\left(1\right)}=\frac{4}{2}=2$.

Come possiamo vedere, il segno del trinomio $1{(x-2)}^2$ è concorde con 1 (cioè con il coefficiente di $x^2$): in entrambi i casi è +.]

3. SE $\Delta <0$

10. (A) Quante sono e come sono le radici (soluzioni) dell’equazione associata al trinomio $a{x}^2+bx+c$ se tale equazione ha $\Delta <0$?

[Se $\Delta <0$, l’equazione non ha soluzioni nell’insieme dei numeri reali.]

11. (B) A quale prodotto corrisponde il trinomio $a{x}^2+bx+c$ se lo scomponiamo in fattori, nel caso in cui l’equazione ad esso associata non abbia soluzioni perché l’equazione associata ha $\Delta <0$?

[Poiché $\Delta <0$, non è possibile scomporre il trinomio in fattori. Vedi capitolo “Scomposizione in fattori di un trinomio di secondo grado” della lezione “Equazioni di secondo grado”.]

12. (B) Dato che, se l’equazione associata al trinomio $a{x}^2+bx+c$ ha $\Delta <0$, non è possibile scomporre il trinomio in fattori, come si fa a determinare algebricamente il segno del trinomio?

[Attraverso una serie di passaggi si trasforma $a{x}^2+bx+c$ nell’espressione equivalente $a[{(x+\frac{b}{2a})}^2+\frac{-\Delta }{4a^2}]$ e poiché per ipotesi $\Delta <0$, l’espressione $\frac{-\Delta }{4a^2}$ è positiva e quindi è positiva anche l’espressione all’interno delle parentesi quadre per qualunque valore di $x$. Da ciò si può dedurre la regola del segno del trinomio $a{x}^2+bx+c$ (con $a\ne 0$) la cui equazione associata $a{x}^2+bx+c=0$ ha $\Delta <0$. Ma prima di enunciare tale regola, vediamo i passaggi con i quali è possibile trasformare $a{x}^2+bx+c$ in $a[{(x+\frac{b}{2a})}^2+\frac{-\Delta }{4a^2}]$.

Dato il trinomio $a{x}^2+bx+c$, mettiamo in evidenza $a$: $a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})$. Il termine $\frac{b}{a}x$ può essere considerato come il doppio prodotto $2\cdot x\cdot \frac{b}{2a}$, quindi possiamo creare un prodotto notevole del tipo $A^2+2AB+B^2$ aggiungendo e sottraendo ${\left(\frac{b}{2a}\right)}^2$ all’interno della parentesi (che da tonda necessariamente diventa quadra):

$a[x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}+{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2-{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2]$.

Ma poiché il trinomio $x^2+\frac{b}{a}x+{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2$ è il quadrato del binomio $x+\frac{b}{2a}$, cioè

$x^2+\frac{b}{a}x+{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2={(x+\frac{b}{2a})}^2$

possiamo riscrivere la nostra espressione così:

$a[{(x+\frac{b}{2a})}^2+\frac{c}{a}-{\left(\frac{b}{2a}\right)}^2]$

che, svolgendo l’elevamento a potenza dell’ultimo termine e raccogliendo gli ultimi due termini all’interno di una parentesi tonda, diventa:

$a[{(x+\frac{b}{2a})}^2+(\frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a^2}\left)\right]$.

Svolgiamo la somma algebrica all’interno della parentesi $(\frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a^2})$ otteniamo $\frac{-\Delta }{4a^2}$; ecco i passaggi:

$\frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a^2}=\frac{4ac-b^2}{4a^2}=\frac{-(b^2-4ac)}{4a^2}=\frac{-\Delta }{4a^2}$

Operiamo la sostituzione di $\frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a^2}$ con $\frac{-\Delta }{4a^2}$ e otteniamo:

$a[{(x+\frac{b}{2a})}^2+\frac{-\Delta }{4a^2}]$.]

13. (A) Qual è il segno del trinomio $a{x}^2+bx+c$ (con $a\ne 0$) la cui equazione associata $a{x}^2+bx+c=0$ ha $\Delta <0$?

[Il segno del trinomio è concorde con $a$ per ogni valore di $x$ che sia un numero reale.

Esempio 1: determiniamo il segno del trinomio $x^2-2x+5$. Il determinante dell’equazione associata $x^2-2x+5=0$ è minore di zero ($\Delta <0$): $\Delta ={(-2)}^2-4\left(1\right)\left(5\right)=4-20=-16$. Quindi il segno del trinomio $x^2-2x+5$ è concorde con 1 (il coefficiente di $x^2$) cioè è positivo.

Esempio 2: determiniamo il segno del trinomio $-3x^2+4x-2$. Il determinante dell’equazione associata $-3x^2+4x-2=0$ è minore di zero ($\Delta <0$): $\Delta ={\left(4\right)}^2-4(-3)(-2)=16-24=-8$. Quindi il segno del trinomio $-3x^2+4x-2$ è concorde con −3 (il coefficiente di $x^2$) cioè è negativo.]