10.6 RISOLUZIONI DI DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO INTERE

1. (A) Consideriamo le quattro possibili disequazioni in forma canonica $a x^{2} + b x + c > 0$ ; $a x^{2} + b x + c < 0$ ; $a x^{2} + b x + c \geq 0$ ; $a x^{2} + b x + c \leq 0$ , se il coefficiente $a$ è positivo e $Δ > 0$ e la parabola concava verso l’alto interseca l’asse $x$ nei punti di ascissa $x_{1}$ e $x_{2}$ , quali sono per ognuno dei quattro casi le soluzioni ammesse? [

$a x^{2} + b x + c > 0$ : $x < x_{1}$ o $x > x_{2}$ ;
$a x^{2} + b x + c < 0$ : $x_{1} < x < x_{2}$ ;
$a x^{2} + b x + c \geq 0$ : $x \leq x_{1}$ o $x \geq x_{2}$ ;
$a x^{2} + b x + c \leq 0$ : $x_{1} \leq x \leq x_{2}$ .]

2. (B) Quali sono le soluzioni della disequazione $x^{2} - 6 x + 8 \geq 0$ ?

[ $x \leq 2$ o $x \geq 4$ . Si tratta infatti di una disequazione del tipo $a x^{2} + b x + c \geq 0$ con $a$ positivo, la cui equazione associata ha discriminante positivo ( $Δ > 0$ ) e per radici 2 e 4. Ecco i passaggi per risolvere l’equazione associata: $Δ = {(- 6)}^{2} - 4 (1) (+ 8) = 36 - 32 = 4$ ; $x = \frac{- (- 6) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 2}{2}$ ; $x_{1} = \frac{4}{2} = 2$ e $x_{2} = \frac{8}{2} = 4$ .]

Parabola relativa alla disequazione x² − 6x + 8 maggiore o uguale a zero

3. (A) Consideriamo le quattro possibili disequazioni canoniche $a x^{2} + b x + c > 0$ ; $a x^{2} + b x + c < 0$ ; $a x^{2} + b x + c \geq 0$ ; $a x^{2} + b x + c \leq 0$ , se il coefficiente $a$ è positivo e $Δ = 0$ e la parabola concava verso l’alto è tangente l’asse $x$ nel punto di ascissa $x_{1} = x_{2}$ , quali sono per ognuno dei quattro casi le soluzioni ammesse? [

$a x^{2} + b x + c > 0$ : $ℝ - {x_{1}}$ (cioè la disequazione è vera per tutti i numeri reali tranne che per il numero corrispondente a $x_{1}$ );
$a x^{2} + b x + c < 0$ : $\emptyset$ (cioè non ci sono soluzioni possibili in $ℝ$ );
$a x^{2} + b x + c \geq 0$ : $ℝ$ (cioè la soluzione può essere qualsiasi $x \in ℝ$ );
$a x^{2} + b x + c \leq 0$ : ${x_{1}}$ (cioè la soluzione può essere solo l’ascissa del punto in cui la parabola è tangente all’asse $x$ ).]

4. (B) Quali sono le soluzioni della disequazione $x^{2} - 4 x + 4 \leq 0$ ?

[ ${2}$ . Si tratta infatti di una disequazione del tipo $a x^{2} + b x + c \leq 0$ con $a$ positivo, la cui equazione associata ha discriminante nullo ( $Δ = 0$ ) e rappresenta una parabola concava verso l’alto tangente l’asse $x$ nel punto di ascissa 2. Ecco i passaggi per risolvere l’equazione associata: $Δ = {(- 4)}^{2} - 4 (1) (+ 4) = 16 - 16 = 0$ ; $x = \frac{- (- 4) \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$ .]

Parabola relativa alla disequazione x² − 4x + 4 minore o uguale a zero

5. (A) Consideriamo le quattro possibili disequazioni canoniche $a x^{2} + b x + c > 0$ ; $a x^{2} + b x + c < 0$ ; $a x^{2} + b x + c \geq 0$ ; $a x^{2} + b x + c \leq 0$ , se il coefficiente $a$ è positivo e $Δ < 0$ , quali sono per ognuno dei quattro casi le soluzioni ammesse? [

$a x^{2} + b x + c > 0$ : $ℝ$ (cioè la soluzione può essere qualsiasi $x \in ℝ$ );
$a x^{2} + b x + c < 0$ : $\emptyset$ (cioè non ci sono soluzioni possibili in $ℝ$ );
$a x^{2} + b x + c \geq 0$ : $ℝ$ (cioè la soluzione può essere qualsiasi $x \in ℝ$ );
$a x^{2} + b x + c \leq 0$ : $\emptyset$ (cioè non ci sono soluzioni possibili in $ℝ$ ).]

6. (B) Quali sono le soluzioni della disequazione $\frac{5}{7} x^{2} - 4 x + 7 < 0$ ?

[ $\emptyset$ . Da un punto di vista grafico, nessun punto della parabola tocca l’asse $x$ . Si tratta infatti di una disequazione del tipo $a x^{2} + b x + c < 0$ con $a$ positivo e la cui equazione associata ha $Δ < 0$ . Ecco i passaggi che portano a calcolare il discriminante: $Δ = {(- 4)}^{2} - 4 (\frac{5}{7}) (+ 7) = 16 - 20 = - 4$ .]

Parabola relativa a una disequazione di secondo grado con discriminante negativo

7. (B) Nello spiegare come si risolve una disequazione di secondo grado intera in forma canonica tipo $a x^{2} + b x + c > 0$ , abbiamo esaminato i casi in cui il coefficiente $a$ del primo termine è positivo ( $a > 0$ ); come si fa a risolvere una disequazione di secondo grado che ha il coefficiente $a$ del primo termine uguale a zero o negativo ( $a = 0$ o $a < 0$ )?

[Il coefficiente $a$ non può essere uguale a zero altrimenti la disequazione non sarebbe di secondo grado; se $a$ è negativo (cosa possibile), si può renderlo positivo moltiplicando per −1 entrambi i membri della disequazione e cambiando il verso della disequazione stessa (in sostanza, si applica il secondo principio di equivalenza delle disequazioni).]

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