10.7 DISEQUAZIONI FRATTE

1. DIESEQUAZIONI FRATTE

1. (A) Che cos’è una disequazione fratta?

[Una disequazione che contiene l’incognita anche al denominatore. Abbiamo già trattato le disequazioni fratte di primo grado (vedi il capitolo “Disequazioni fratte” della lezione “Disequazioni lineari” di Algebra I), ora ci occuperemo delle disequazioni fratte in cui il numeratore o il denominatore contengono fattori di secondo grado (o riducibili al secondo grado, come per esempio: $x(x+1)$ che è riconducibile a $x^2+1$).

Esempio: $\frac{x-8}{x^2+3x-2}>\frac{1}{3x^2+5}$.]

2. (A) Qual è la forma canonica di una disequazione fratta?

[$\frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}>0$ oppure $\frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}<0$ oppure $\frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}\ge 0$ oppure $\frac{A\left(x\right)}{B\left(x\right)}\le 0$, dove $A\left(x\right)$ e $B\left(x\right)$ sono polinomi.

Esempio: $\frac{x+1}{-4x^2-x+12}>0$.]

3. (B) Qual è la forma canonica della seguente disequazione fratta $\frac{1}{x^2+x}\ge \frac{3}{x+1}$?

[$\frac{1-3x}{x(x+1)}\ge 0$. Ecco i passaggi:

$\frac{1}{x^2+x}\ge \frac{3}{x+1}\to \frac{1}{x^2+x}-\frac{3}{x+1}\ge 0$

$\to \frac{1}{x(x+1)}-\frac{3}{x+1}\ge 0\to \frac{1-3x}{x(x+1)}\ge 0$.]

4. (A) Quali sono i passi per risolvere una disequazione fratta? [

5. (B) Quand’è che una frazione algebrica si annulla e quand’è invece che non esiste?

[Si annulla quando il numeratore è 0 e il denominatore è diverso da zero; non esiste quando il denominatore è 0.]

2. ESEMPIO 1

6. (B) Come si presenta la disequazione $\frac{x-3}{x^2-1}\le 0$ se viene ridotta in forma canonica?

[Questa disequazione è già in forma canonica.]

7. (B) Quali sono le condizioni di esistenza (C.E.) di $\frac{x-3}{x^2-1}\le 0$?

[$x\ne -1$ e $x\ne 1$. Infatti il denominatore deve essere diverso da zero: $x^2-1\ne 0$, perciò deve essere $x^2\ne 1$, e quindi, poiché i numeri che elevati al quadrato danno come risultato 1 sono 1 e −1, si ha $x\ne -1$ e $x\ne 1$.]

8. (B) Come si fa a studiare il segno del numeratore di $\frac{x-3}{x^2-1}\le 0$?

[Si pone $x-3>0$ e, applicando la regola del trasporto, si ottiene $x>3$. Quindi il numeratore $x-3$ è positivo ($x-3>0$) per tutti i valori di $x$ maggiori di 3, è nullo per $x=3$ ed è negativo per tutti i valori di $x$ minori di 3.]

9. (B) Come si fa a studiare il segno del denominatore della disequazione fratta $\frac{x-3}{x^2-1}\le 0$?

[Si pone $x^2-1>0$ e si risolve l’equazione associata $x^2-1=0$ ottenendo le radici $x_1=-1$ e $x_2=1$ per cui il denominatore $x^2-1$ è positivo ($x^2-1>0$) per $x<-1$ e per $x>1$ (basta guardare il grafico della parabola di equazione $x^2-1=0$ per rendersene conto). Qui di seguito trovi i passaggi per portano alla risoluzione dell’equazione $x^2-1=0$. Trattandosi di una equazione spuria tipo $a{x}^2+c=0$, le radici si ottengono così: $x_1=-\sqrt{\frac{--1}{1}}=-\sqrt{1}=-1$ e $x_2=+\sqrt{\frac{--1}{1}}=+\sqrt{1}=1$.]

10. (B) Qual è il quadro del segno della frazione al primo membro della disequazione $\frac{x-3}{x^2-1}\le 0$?

[

]

11. (B) Perché il quadro del segno di $\frac{x-3}{x^2-1}\le 0$ presenta il simbolo ∄ nella riga del segno della frazione in corrispondenza di −1 e di 1?

[Perché, in base a C. E., l’incognita $x$ non può avere valore −1 e 1, quindi se $x$ fosse uguale a −1 o a 1, l’intera frazione non sarebbe possibile. Invece la frazione assume valore nullo per $x=3$.]

12. (B) Osservando la tabella qui di seguito, qual è l’insieme delle soluzioni della disequazione $\frac{x-3}{x^2-1}\le 0$?

[$x<-1\vee 1<x\le 3$.]

3. ESEMPIO 2

13. (B) Quali sono le condizioni di esistenza (C. E.) di $\frac{x^2-6x+5}{x(x+1)}<0$?

[$x\ne 0$ e $x\ne -1$. Infatti il denominatore deve essere diverso da zero: $x(x+1)\ne 0$, di conseguenza il fattore $x$ deve essere diverso da zero e all’interno del fattore $(x+1)$ la $x$ deve essere diversa da −1, altrimenti se uno dei due fattori fosse uguale a zero, lo sarebbe anche il prodotto, cioè il denominatore della frazione, e la frazione sarebbe impossibile.]

14. (B) Come si fa a studiare il segno del numeratore di $\frac{x^2-6x+5}{x(x+1)}<0$?

[Si pone $x^2-6x+5>0$, si risolve l’equazione associata $x^2-6x+5=0$ che è quella di una parabola concava verso l’alto, si ottengono le radici 1 e 5, perciò il numeratore è positivo per $x<1$ oppure $x>5$. Ecco i passaggi per risolvere $x^2-6x+5=0$: $\Delta ={(-6)}^2-4\left(1\right)\left(5\right)\to 36-20\to 16$; $x=\frac{-(-6)\pm \sqrt{16}}{2\left(1\right)}=\frac{6\pm 4}{2}$ → $x_1=\frac{2}{2}=1$ e $x_2=\frac{10}{2}=5$.]

15. (B) Come si fa a studiare il segno del denominatore di $\frac{x^2-6x+5}{x(x+1)}<0$?

[Si pone $x(x+1)>0$ e si fa lo studio del segno del prodotto $x(x+1)$ e dallo schema del segno si ricava che tale prodotto è maggiore di 0 per $x<-1\vee x>0$. Ecco i passaggi: si pone $x>0$ e anche $x+1>0\to x>-1$ e poi si costruisce lo schema del segno qui di seguito.]

16. (B) Qual è il quadro del segno della frazione al primo membro della disequazione $\frac{x^2-6x+5}{x(x+1)}<0$?

[

]

17. (B) Osservando la tabella qui di seguito, qual è l’insieme delle soluzioni della disequazione $\frac{x^2-6x+5}{x(x+1)}<0$?

[$-1<x<0\vee 1<x<5$.]