10.8 SISTEMI DI DISEQUAZIONI

Ci siamo già occupati dei sistemi di disequazioni lineari nel capitolo “Sistemi di disequazioni” della lezione “Disequazioni” del corso Algebra I, qui invece ci occupiamo di sistemi che contengono almeno una disequazione di secondo grado.

1. IN GENERALE

1. (A) Che cos’è un sistema di disequazioni?

[Un insieme di disequazioni nella stessa incognita.

Esempio:

${\begin{matrix} x^{2} + 2 x - 4 \leq 0 \\ - 3 x^{2} + x - 4 > 0 \\ - 2 x - 1 < 0 \end{matrix}$ .]

2. (A) Quali sono le soluzioni di un sistema di disequazioni?

[I valori reali che soddisfano contemporaneamente tutte le disequazioni del sistema.]

3. (A) Qual è il procedimento per risolvere un sistema di disequazioni? [

Si risolvono separatamente le disequazioni che lo compongono;
si costruisce uno schema dei segni;
si determinano, se ci sono, le soluzioni comuni, cioè l’insieme intersezione.]

2. ESEMPIO

4. (B) Quali sono le soluzioni delle disequazioni che compongono il seguente sistema ${\begin{matrix} x^{2} + 6 x - 7 < 0 \\ x^{2} - 5 x - 6 \geq 0 \end{matrix}$ ?

[La disequazione $x^{2} + 6 x - 7 < 0$ è verificata per $- 7 < x < 1$ ; le soluzioni di $x^{2} - 5 x - 6 \geq 0$ sono $x \leq - 1 \lor x \geq 6$ .

Qui di seguito trovi i passaggi per arrivare all’insieme delle soluzioni di $x^{2} + 6 x - 7 < 0$ . Si risolve l’equazione associata $x^{2} + 6 x - 7 = 0$ : $Δ = {(6)}^{2} - 4 (1) (- 7) \to 36 + 28 \to 64$ ; $x = \frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{2 (1)} = \frac{- 6 \pm 8}{2}$ → $x_{1} = \frac{- 14}{2} = - 7$ e $x_{2} = \frac{+ 2}{2} = 1$ . Poiché si tratta di una parabola concava verso l’alto (il coefficiente di $x^{2}$ è positivo) che interseca l’asse $x$ in due punti (di ascissa −7 e 1), la disequazione $x^{2} + 6 x - 7 < 0$ è verificata per $- 7 < x < 1$ .

Qui di seguito trovi i passaggi per arrivare all’insieme delle soluzioni di $x^{2} - 5 x - 6 \geq 0$ . Si risolve l’equazione associata $x^{2} - 5 x - 6 = 0$ : $Δ = {(- 5)}^{2} - 4 (1) (- 6) \to 25 + 24 \to 49$ ; $x = \frac{- (- 5) \pm \sqrt{49}}{2 (1)} = \frac{5 \pm 7}{2}$ → $x_{1} = \frac{- 2}{2} = - 1$ e $x_{2} = \frac{12}{2} = 6$ . Poiché si tratta di una parabola concava verso l’alto (il coefficiente di $x^{2}$ è positivo) che interseca l’asse $x$ in due punti (di ascissa −1 e 6), la disequazione $x^{2} - 5 x - 6 \geq 0$ è verificata per $x \leq - 1 \lor x \geq 6$ .]

5. (B) Qual è lo schema dei segni del sistema ${\begin{matrix} x^{2} + 6 x - 7 < 0 \\ x^{2} - 5 x - 6 \geq 0 \end{matrix}$ , sapendo che l’insieme delle soluzioni della prima disequazione è $- 7 < x < 1$ , e le soluzioni della seconda disequazione sono $x \leq - 1 \lor x \geq 6$ ?

[

Schema dei segni del sistema di disequazioni

]

6. (B) Qual è l’intersezione che costituisce l’insieme delle soluzioni del sistema ${\begin{matrix} x^{2} + 6 x - 7 < 0 \\ x^{2} - 5 x - 6 \geq 0 \end{matrix}$ ?

[ $- 7 < x \leq - 1$ .]

Intersezione delle soluzioni del sistema di disequazioni

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