11.1 EQUAZIONI PARAMETRICHE

1. (A) Che cosa hanno a che vedere le equazioni parametriche di secondo grado con le disequazioni?

[Per sapere per quali valori del parametro l’equazione ha radici (soluzioni) reali (numeri reali) bisogna porre Δ ≥ 0 come condizione di esistenza delle soluzioni (infatti se il discriminante fosse minore di zero, l’equazione sarebbe impossibile, cioè non avrebbe soluzioni reali).]

ESEMPIO

2. (B) Quale condizione bisogna porre per sapere per quali valori del parametro m l’equazione $x^2-2mx+5m-4=0$ ha radici reali?

[Bisogna porre la condizione Δ ≥ 0 cioè ${(-2m)}^2-4(5m-4)\ge 0$ che, svolgendo i calcoli, diventa $m^2-5m+4\ge 0$. Vediamo i passaggi: ${(-2m)}^2-4(5m-4)\ge 0\to 4m^2-20m+16\ge 0\to \frac{1}{4}·(4m^2-20m+16)\ge 0·\frac{1}{4}\to m^2-5m+4\ge 0$.]

3. (B) Una volta che abbiamo posto la condizione Δ ≥ 0, ottenendo $m^2-5m+4\ge 0$, come si procede?

[Si risolve l’equazione associata $m^2-5m+4=0$, calcolandone il discriminante Δ, che è 9. Ecco i passaggi: $\Delta ={(-5)}^2-4(+4)\to \Delta =25-16\to \Delta =9$.]

4. (B) Stabilito che il discriminante dell’equazione $m^2-5m+4=0$ è Δ = 9, come si procede?

[Si calcolano le radici dell’equazione $m^2-5m+4=0$, ottenendo 1 e 4. Ecco i passaggi: $m=\frac{-(-5)\pm \sqrt{9}}{2·1}\to m=\frac{5\pm 3}{2}\to m_1=\frac{5-3}{2}=\frac{2}{2}=1$ e $m_2=\frac{5+3}{2}=\frac{8}{2}=4$.]

5. (B) Una volta che abbiamo stabilito che le radici dell’equazione $m^2-5m+4=0$ sono 1 e 4, come si procede?

[Si stabilisce per quali valori di m la disequazione $m^2-5m+4\ge 0$ è verificata; e si ottiene: $m\le 1\vee m\ge 4$.]

6. (B) Il fatto che la disequazione $m^2-5m+4\ge 0$ sia verificata per $m\le 1\vee m\ge 4$, che cosa ci dice sull’equazione di partenza, cioè su $x^2-2mx+5m-4=0$?

[Che l’equazione di partenza ha radici reali se $m\le 1\vee m\ge 4$. Tradotto in parole semplici: se nell’equazione $x^2-2mx+5m-4=0$ sostituiamo m con un numero minore o uguale a 1 (per esempio con −2) oppure con un numero maggiore o uguale a 4 (per esempio con 5), l’equazione ha soluzioni reali; se invece sostituiamo m con un numero maggiore di 1 e minore 4 (per esempio con 3) l’equazione non ha soluzioni reali (cioè è impossibile).]