11.2 EQUAZIONI IRRAZIONALI

1. (A) Che cos’è un’equazione irrazionale?

[È un’equazione che contiene almeno un radicale nel cui radicando compare l’incognita. Esempio: $\sqrt{2x-1}=5+x$.]

2. (B) Quali delle seguenti equazioni sono irrazionali (A) $\frac{1}{x}-\sqrt{3}=2-x$; (B) $\frac{x}{\sqrt{3}}=4x$; (C) $\sqrt{x+7}-5=x-1$?

[Soltanto $\sqrt{x+7}-5=x-1$. Infatti solo in questa equazione compare la x sotto il segno di radice.]

1. TEOREMI DI EQUIVALENZA

3. (A) L’equazione $A\left(x\right)=B\left(x\right)$ e l’equazione ${\left[A\right(x\left)\right]}^2={\left[B\right(x\left)\right]}^2$, che si ottiene elevando al quadrato entrambi i membri della prima equazione, sono equivalenti?

[No, ${\left[A\right(x\left)\right]}^2={\left[B\right(x\left)\right]}^2$ equivale a $\left[A\right(x)=B(x\left)\right]\vee \left[A\right(x)=-B(x\left)\right]$. In modo forse più semplice, si può dire che l’equazione ${\left[A\right(x\left)\right]}^2={\left[B\right(x\left)\right]}^2$, oltre alle soluzioni di $\left[A\right(x)=B(x\left)\right]$ ha anche le soluzioni di $\left[A\right(x)=-B(x\left)\right]$.]

4. (A) L’equazione $A\left(x\right)=B\left(x\right)$ e l’equazione ${\left[A\right(x\left)\right]}^3={\left[B\right(x\left)\right]}^3$, che si ottiene elevando al cubo entrambi i membri della prima equazione, sono equivalenti?

[Sì.]

5. (B) L’equazione $A\left(x\right)=B\left(x\right)$ e l’equazione ${\left[A\right(x\left)\right]}^n={\left[B\right(x\left)\right]}^n$, che si ottiene elevando all’esponente naturale positivo n entrambi i membri della prima equazione, sono equivalenti? [

2. RISOLUZIONE DI EQUAZIONI IRRAZIONALI

6. (A) Come si risolve un’equazione irrazionale del tipo: $\sqrt[n]{A\left(x\right)}=B\left(x\right)$?

7. (A) Le soluzioni di $A\left(x\right)={\left[B\right(x\left)\right]}^n$ sono le soluzioni di $\sqrt[n]{A\left(x\right)}=B\left(x\right)$? [

8. (A) Se n è pari, quali metodi abbiamo per controllare se le soluzioni di $A\left(x\right)={\left[B\right(x\left)\right]}^n$ sono anche soluzioni di $\sqrt[n]{A\left(x\right)}=B\left(x\right)$? [

9. (A) Se n è pari, come si fa a controllare mediante verifica se le soluzioni di $A\left(x\right)={\left[B\right(x\left)\right]}^n$ sono anche soluzioni di $\sqrt[n]{A\left(x\right)}=B\left(x\right)$?

[Basta sostituire le soluzioni di $A\left(x\right)={\left[B\right(x\left)\right]}^n$ alle x nell’equazione $\sqrt[n]{A\left(x\right)}=B\left(x\right)$: se quest’ultima è soddisfatta, allora le soluzioni di $A\left(x\right)={\left[B\right(x\left)\right]}^n$ sono anche soluzioni di $\sqrt[n]{A\left(x\right)}=B\left(x\right)$.]

10. (B) Data l’equazione $\sqrt[n]{A\left(x\right)}=B\left(x\right)$, se n è pari, quali condizioni bisogna porre?

[La condizione di esistenza e la condizione di concordanza di segno.]

11. (B) Qual è la condizione di esistenza di $\sqrt[n]{A\left(x\right)}=B\left(x\right)$ se n è pari?

[$A\left(x\right)\ge 0$; infatti, come si ricorderà, il radicando di una radice con indice pari deve essere positivo o nullo, non può essere negativo (altrimenti il radicale non è un numero reale).]

12. (B) Qual è la condizione di concordanza di segno di $\sqrt[n]{A\left(x\right)}=B\left(x\right)$ se n è pari?

[$B\left(x\right)\ge 0$; infatti, poiché un radicale con indice pari è sempre positivo o nullo, anche $B\left(x\right)$ deve esserlo.]

3. ESEMPIO

13. (B) Qual è il primo passo per risolvere l’equazione irrazionale $2\sqrt{1-5x}=5-x$?

[Si elevano alla seconda entrambi i membri dell’equazione in modo da eliminare la radice: ${\left(2\sqrt{1-5x}\right)}^2={(5-x)}^2$ e si ottiene $4(1-5x)=25-10x+x^2$.]

14. (B) Una volta ottenuta l’equazione razionale $4(1-5x)=25-10x+x^2$, come si procede?

[Si riduce tale equazione in forma normale: $x^2+10x+21=0$. Ecco i passaggi: $4(1-5x)=25-10x+x^2\to 4-20x=25-10x+x^2\to$
$4-20x-25+10x-x^2=0\to -x^2-10x-21=0\to x^2+10x+21=0$.]

15. (B) Una volta che abbiamo l’equazione in forma normale $x^2+10x+21=0$, come si procede?

[Si trovano le soluzioni, che sono: −7 e −3. Ecco i passaggi: $\Delta ={10}^2-4\left(21\right)=100-84=16$. Quindi $x=\frac{-10\pm \sqrt{16}}{2\left(1\right)}\to x=\frac{-10\pm 4}{2}\to x_1=\frac{-14}{2}=-7$ e $x_2=\frac{-6}{2}=-3$.]

16. (B) Come si fa a controllare mediante verifica se le soluzioni (−7 e −3) dell’equazione $4(1-5x)=25-10x+x^2$ sono anche soluzioni di $2\sqrt{1-5x}=5-x$?

[Si sostituisce −3 (oppure −7) alla x nell’equazione $2\sqrt{1-5x}=5-x$, e, svolgendo i calcoli, si ottiene una uguaglianza, 8 = 8 (12 = 12 nel caso di x = −7), quindi si può concludere che l’equazione è verificata. Ecco i passaggi se si sostituisce x con −3: $2\sqrt{1-5x}=5-x\to 2\sqrt{1-5(-3)}=5-(-3)\to 2\sqrt{1+15}=5+3\to 2\sqrt{16}=8\to 2\left(4\right)=8\to 8=8$. Ecco i passaggi se si sostituisce x con −7: $2\sqrt{1-5x}=5-x\to 2\sqrt{1-5(-7)}=5-(-7)\to 2\sqrt{1+35}=5+7\to 2\sqrt{36}=12\to 2\left(6\right)=12\to 12=12$.]

17. (B) Come si fa a controllare mediante condizioni se le soluzioni (−7 e −3) dell’equazione $4(1-5x)=25-10x+x^2$ sono anche soluzioni di $2\sqrt{1-5x}=5-x$?

[Poniamo la condizione $1-5x\ge 0$ (condizione di esistenza del radicale), che equivale a $x\le \frac{1}{5}$, e la condizione $5-x\ge 0$ (condizione di concordanza di segno), che equivale a $x\le 5$; poiché sia −7 che −3 sono inferiori a 5 e a $\frac{1}{5}$, le condizioni sono soddisfate e le soluzioni valgono anche per $2\sqrt{1-5x}=5-x$. Vediamo come da $1-5x\ge 0$ si passa a $x\le \frac{1}{5}$; ecco i passaggi: $1-5x\ge 0\to -5x\ge -1\to 5x\le 1\to x\le \frac{1}{5}$. Vediamo come da $5-x\ge 0$ si passa a $x\le 5$; ecco i passaggi: $5-x\ge 0\to -x\ge -5\to x\le 5$.]