11.3 DISEQUAZIONI IRRAZIONALI

1. (A) Che cos’è una disequazione irrazionale?

[Una disequazione che contiene almeno un radicale in cui compare l’incognita. Esempio: $8-\sqrt{2x}<x+1$.]

2. (B) Quali delle seguenti disequazioni sono irrazionali (A) $\sqrt{5}-x>3+x$; (B) $x+6\le \sqrt{x-2}$; (C) $3\sqrt{x}+8>2x+4$?

[Soltanto $x+6\le \sqrt{x-2}$ e $3\sqrt{x}+8>2x+4$. Infatti nella disequazione $\sqrt{5}-x>3$ la x non compare sotto il segno di radice.]

1. DISEQUAZIONI IRRAZIONALI DEL TIPO $\sqrt{A\left(x\right)}<B\left(x\right)$

3. (A) A che cosa equivale una disequazione irrazionale del tipo $\sqrt{A\left(x\right)}<B\left(x\right)$?

[Equivale al seguente sistema $\{\begin{array}{c}A\left(x\right)\ge 0\\ B\left(x\right)>0\\ A\left(x\right)<{\left[B\right(x\left)\right]}^2\end{array}$. Per una spiegazione vedi le domande successive.]

4. (B) Perché in una disequazione irrazionale del tipo $\sqrt{A\left(x\right)}<B\left(x\right)$ il radicando $A\left(x\right)$ è maggiore o uguale a zero ($A\left(x\right)\ge 0$)?

[È la condizione di esistenza di una radice di indice pari: il radicando di una radice di indice pari deve essere positivo o uguale a zero altrimenti non si ottiene come risultato un numero reale.]

5. (B) Perché il secondo membro di una disequazione irrazionale del tipo $\sqrt{A\left(x\right)}<B\left(x\right)$ è maggiore di zero ($B\left(x\right)>0$)?

[Perché la disequazione $\sqrt{A\left(x\right)}<B\left(x\right)$ ci dice che $B\left(x\right)$ è maggiore di $\sqrt{A\left(x\right)}$ (non minore e neppure uguale a $\sqrt{A\left(x\right)}$) e noi sappiamo che $\sqrt{A\left(x\right)}\ge 0$ (perché il suo radicando $A\left(x\right)$ è maggiore o uguale a zero).]

6. (B) Data una disequazione irrazionale del tipo $\sqrt{A\left(x\right)}<B\left(x\right)$, perché vale $A\left(x\right)<{\left[B\right(x\left)\right]}^2$?

[Perché, se in una disuguaglianza tra due quantità non negative si elevano entrambi i membri al quadrato, si ottiene una disuguaglianza dello stesso verso (e questo vale per tutte le disuguaglianze: quindi anche per le disequazioni, che, come sappiamo, sono disuguaglianze che contengono incognite). Esempio: $5>3\to {\left(5\right)}^2>{\left(3\right)}^2$.]

3. ESEMPIO

7. (B) Per risolvere la disequazione irrazionale $\sqrt{4x+12}<x$ quale sistema equivalente bisogna risolvere?

[Il sistema $\{\begin{array}{c}4x+12\ge 0\\ x>0\\ 4x+12<x^2\end{array}$ che attraverso questo passaggio $\{\begin{array}{c}4x\ge -12\\ x>0\\ -x^2+4x+12<0\end{array}$ diventa $\{\begin{array}{c}x\ge -3\\ x>0\\ x^2-4x-12>0\end{array}$.]

8. (B) Una volta che abbiamo stabilito che la disequazione $\sqrt{4x+12}<x$ è equivalente al sistema $\{\begin{array}{c}x\ge -3\\ x>0\\ x^2-4x-12>0\end{array}$, come si procede per risolverla?

[Si risolve l’equazione associata alla disequazione $x^2-4x-12>0$ ottenendo $x_1=-2$ e $x_2=6$. Ecco i passaggi: $\Delta ={(-4)}^2-4\left(12\right)=16-48=64$. Quindi $x=\frac{-(-4)\pm \sqrt{64}}{2\left(1\right)}\to x=\frac{4\pm 8}{2}\to x_1=\frac{-4}{2}=-2$ e $x_2=\frac{12}{2}=6$.]

9. (B) Sapendo che le soluzioni dell’equazione associata sono $x_1=-2$ e $x_2=6$, qual è l’insieme delle soluzioni della disequazione $x^2-4x-12>0$?

[$x<-2\vee x>6$.]

10. (B) In definitiva, a quale sistema è equivalente la disequazione $x^2-4x-12>0$?

[Al sistema $\{\begin{array}{c}x\ge -3\\ x>0\\ x<-2\vee x>6\end{array}$.]

11. (B) Qual è la rappresentazione grafica del sistema $\{\begin{array}{c}x\ge -3\\ x>0\\ x<-2\vee x>6\end{array}$?

[

]

12. (B) Sulla base della rappresentazione grafica del sistema, qual è l’insieme delle soluzioni della disequazione $\sqrt{4x+12}<x$ equivalente a tale sistema?

[$x>6$.]

4. DISEQUAZIONI IRRAZIONALI DEL TIPO $\sqrt{A\left(x\right)}\le B\left(x\right)$

13. (A) A quale sistema è equivalente la disequazione $\sqrt{A\left(x\right)}\le B\left(x\right)$?

[Al sistema $\{\begin{array}{c}A\left(x\right)\ge 0\\ B\left(x\right)\ge 0\\ A\left(x\right)\le {\left[B\right(x\left)\right]}^2\end{array}$.]

5. DISEQUAZIONI IRRAZIONALI DEL TIPO $\sqrt{A\left(x\right)}>B\left(x\right)$

14. (A) A che cosa è equivalente la disequazione $\sqrt{A\left(x\right)}>B\left(x\right)$?

[È equivalente a $\{\begin{array}{c}B\left(x\right)<0\\ A\left(x\right)\ge 0\end{array}\vee \{\begin{array}{c}B\left(x\right)\ge 0\\ A\left(x\right)>{\left[B\right(x\left)\right]}^2\end{array}$.]

15. (B) Perché la disequazione $\sqrt{A\left(x\right)}>B\left(x\right)$ è equivalente all’unione di due sistemi: $\{\begin{array}{c}B\left(x\right)<0\\ A\left(x\right)\ge 0\end{array}\vee \{\begin{array}{c}B\left(x\right)\ge 0\\ A\left(x\right)>{\left[B\right(x\left)\right]}^2\end{array}$?

[Perché se $B\left(x\right)<0$, la disequazione $\sqrt{A\left(x\right)}>B\left(x\right)$ è equivalente al sistema $\{\begin{array}{c}B\left(x\right)<0\\ A\left(x\right)\ge 0\end{array}$; se $B\left(x\right)\ge 0$, la disequazione $\sqrt{A\left(x\right)}>B\left(x\right)$ è equivalente al sistema $\{\begin{array}{c}B\left(x\right)\ge 0\\ A\left(x\right)>{\left[B\right(x\left)\right]}^2\end{array}$.]

16. (C) Perché, se $B\left(x\right)<0$, la disequazione $\sqrt{A\left(x\right)}>B\left(x\right)$ è equivalente al sistema $\{\begin{array}{c}B\left(x\right)<0\\ A\left(x\right)\ge 0\end{array}$?

[Perché basta che la condizione di esistenza del radicale $\sqrt{A\left(x\right)}$ sia soddisfatta, ovvero che $A\left(x\right)\ge 0$, perché la disequazione $\sqrt{A\left(x\right)}>B\left(x\right)$ sia verificata: se $A\left(x\right)\ge 0$ anche $\sqrt{A\left(x\right)}\ge 0$, e se $B\left(x\right)<0$, allora sicuramente vale $\sqrt{A\left(x\right)}>B\left(x\right)$. In altri termini, avendo verificato che il radicando è positivo (quindi abbiamo soddisfatto la condizione di esistenza), sappiamo che la radice sarà sempre una quantità positiva. Quindi, sarà sicuramente maggiore di $B\left(x\right)$ che è minore di 0.]

17. (C) Perché, se $B\left(x\right)\ge 0$, la disequazione $\sqrt{A\left(x\right)}>B\left(x\right)$ è equivalente al sistema $\{\begin{array}{c}B\left(x\right)\ge 0\\ A\left(x\right)>{\left[B\right(x\left)\right]}^2\end{array}$?

[Perché, se $B\left(x\right)\ge 0$, si può applicare il principio secondo cui, se in una disuguaglianza tra due quantità non negative si elevano entrambi i membri al quadrato, si ottiene una disuguaglianza dello stesso verso (nel nostro caso, elevando al quadrato entrambi i membri della disequazione $\sqrt{A\left(x\right)}>B\left(x\right)$, si ottiene $A\left(x\right)>{\left[B\right(x\left)\right]}^2$). Sappiamo infatti con certezza che i due membri della disequazione $\sqrt{A\left(x\right)}>B\left(x\right)$ sono non negativi: $B\left(x\right)$ per ipotesi (perché stiamo esaminando il caso in cui $B\left(x\right)\ge 0$); $\sqrt{A\left(x\right)}$ perché la disequazione $\sqrt{A\left(x\right)}>B\left(x\right)$ ci dice che è maggiore di $B\left(x\right)$.]

6. ESEMPIO

18. (B) Come si fa a risolvere la disequazione $\sqrt{10x-19}>x-3$?

[Bisogna risolvere i seguenti sistemi: $\{\begin{array}{c}x-3<0\\ 10x-19\ge 0\end{array}$ e $\{\begin{array}{c}x-3\ge 0\\ 10x-19>{(x-3)}^2\end{array}$. Infatti $\sqrt{10x-19}>x-3$ è equivalente a $\{\begin{array}{c}x-3<0\\ 10x-19\ge 0\end{array}\vee \{\begin{array}{c}x-3\ge 0\\ 10x-19>{(x-3)}^2\end{array}$.]

19. (B) Qual è la soluzione del sistema $\{\begin{array}{c}x-3<0\\ 10x-19\ge 0\end{array}$?

[$\frac{19}{10}\le x<3$. Ecco i passaggi: $\{\begin{array}{c}x-3<0\\ 10x-19\ge 0\end{array}\to \{\begin{array}{c}x<3\\ 10x\ge 19\end{array}\to \{\begin{array}{c}x<3\\ x\ge \frac{19}{10}\end{array}\to \frac{19}{10}\le x<3$.]

20. (B) Qual è la soluzione del sistema $\{\begin{array}{c}x-3\ge 0\\ 10x-19>{(x-3)}^2\end{array}$?

[$3\le x<14$. Ecco i passaggi: $\{\begin{array}{c}x-3\ge 0\\ 10x-19>{(x-3)}^2\end{array}\to \{\begin{array}{c}x\ge 3\\ 10x-19>x^2-6x+9\end{array}\to$
$\{\begin{array}{c}x\ge 3\\ 10x-19-x^2+6x-9>0\end{array}\to \{\begin{array}{c}x\ge 3\\ -x^2+16x-28>0\end{array}\to \{\begin{array}{c}x\ge 3\\ x^2-16x+28<0\end{array}$. A questo punto bisogna risolvere l’equazione $x^2-16x+28=0$ associata alla seconda disequazione del sistema. Le soluzioni sono $x_1=2$ e $x_2=14$. Ecco i passaggi: $\Delta ={(-16)}^2-4\left(28\right)\to \Delta =256-112\to \Delta =144\to x=\frac{-(-16)\pm \sqrt{144}}{2}\to$
$x=\frac{16\pm 12}{2}\to x_1=\frac{16-12}{2}=2$ e $x_2=\frac{16+12}{2}=14$. Quindi l’insieme delle soluzioni della disequazione $x^2-16x+28<0$ è $2<x<14$. E l’intersezione del sistema, come si può vedere dalla figura, è $3\le x<14$.]

21. (B) Qual è la soluzione della disequazione $\sqrt{10x-19}>x-3$?

[$[\frac{19}{10}\le x<3\vee 3\le x<14]$. Tale risultato è l’unione degli intervalli dei due sistemi che uniti equivalgono alla disequazione di partenza. Una notazione della soluzione più semplice ma equivalente è la seguente: $\frac{19}{10}\le x<14$.]

7. DISEQUAZIONI IRRAZIONALI DEL TIPO $\sqrt{A\left(x\right)}\ge B\left(x\right)$

22. (A) A quale sistema è equivalente la disequazione $\sqrt{A\left(x\right)}\ge B\left(x\right)$?

[È equivalente alla seguente unione di sistemi: $\{\begin{array}{c}B\left(x\right)<0\\ A\left(x\right)\ge 0\end{array}\vee \{\begin{array}{c}B\left(x\right)\ge 0\\ A\left(x\right)\ge {\left[B\right(x\left)\right]}^2\end{array}$.]

8. DISEQUAZIONI CON RADICALI CUBICI

23. (A) Come si risolve una disequazione contenente solo radicali cubici?

[Si eliminano i radicali elevando al cubo entrambi i membri e lasciando invariato il verso della disequazione.]

24. (B) Perché se si elevano al cubo entrambi i membri di una disequazione il verso del segno della disequazione rimane invariato?

[Per la proprietà delle disuguaglianze secondo cui se si elevano entrambi i membri di una disuguaglianza a una potenza con esponente dispari, il verso della disuguaglianza rimane invariato. Esempio 1: $+5>+2\to {(+5)}^3>{(+2)}^3$. Esempio 2: $-1<+2\to {(-1)}^3<{(+2)}^3$.]

25. (B) Quali condizioni di esistenza bisogna porre per risolvere una disequazione contenente radicali cubici?

[Nessuna condizione di esistenza perché i radicali hanno indice dispari.]

9. ESEMPIO

26. (B) Qual è il primo passo per risolvere la disequazione $\sqrt[3]{x^2+6x+20}>3$?

[Elevare al cubo entrambi i membri: ${\left(\sqrt[3]{x^2+6x+20}\right)}^3>{\left(3\right)}^3$; in questo modo si ottiene la disequazione equivalente $x^2+6x+20>27$. Risolvendo questa disequazione otteniamo anche le soluzioni della disequazione di partenza.]

27. (B) Qual è l’insieme delle soluzioni della disequazione $x^2+6x+20>27$ e quindi della disequazione equivalente da cui siamo partiti: $\sqrt[3]{x^2+6x+20}>3$?

[$x<-7\vee x>1$. Ecco i passaggi: $x^2+6x+20>27\to x^2+6x+20-27>0\to x^2+6x-7>0\to \Delta =6^2-4(-7)\to \Delta =36+28\to \Delta =64\to$
$x=\frac{-6\pm \sqrt{64}}{2}\to x=\frac{-6\pm 8}{2}\to x_1=\frac{-14}{2}=-7$ e $x_2=\frac{2}{2}=1$. Poiché il coefficiente della disequazione iniziale è positivo e $\Delta >0$, la disequazione ha queste soluzioni: $x<-7\vee x>1$.]