11.4 EQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI

1. IN GENERALE

1. (A) Come si indica il valore assoluto di un’espressione come $f\left(x\right)$?

[Così: $\left|f\right(x\left)\right|$.]

2. (A) Che cos’è $f\left(x\right)$ rispetto a $\left|f\right(x\left)\right|$?

[L’argomento.]

3. (A) A che cosa equivale $\left|f\right(x\left)\right|$?

[Equivale a $f\left(x\right)$ se $f\left(x\right)\ge 0$; e equivale a $-f\left(x\right)$ se $f\left(x\right)<0$. Schematicamente: $\left|f\right(x\left)\right|=\{\begin{array}{cc}f\left(x\right)& \text{se}f\left(x\right)\ge 0\\ -f\left(x\right)& \text{se}f\left(x\right)<0\end{array}$.]

4. (B) A che cosa equivale $|x^2-4|$?

[Equivale a $x^2-4$ se $x^2-4\ge 0$ cioè se $x<-2\vee x>2$; e equivale a $-(x^2-4)$ cioè a $-x^2+4$ se $x^2-4<0$. In sintesi: $|x^2-4|=\{\begin{array}{cc}{x}^2-4& \text{se}{x}^2-4\ge 0\text{cioè se}x\le -2\vee x\ge 2\\ -(x^2-4)& \text{cioè a}-x^2+4\text{se}{x}^2-4<0\text{cioè se}-2<x<2\end{array}$. I valori −2 e 2 sono le radici dell’equazione associata $x^2-4=0$, che è un’equazione pura del tipo $a{x}^2+c=0$. Ecco i passaggi: $x_1=-\sqrt{\frac{--4}{1}}=-\sqrt{4}=-2$ e $x_2=+\sqrt{\frac{--4}{1}}=+\sqrt{4}=+2$.]

2. ESEMPIO

5. (A) Quali sono i passi per risolvere la seguente equazione $|x^2-3x|=x-3$? [

6. (B) Qual è lo studio del segno di $|x^2-3x|$?

[$|x^2-3x|=\{\begin{array}{cc}{x}^2-3x& \text{se}{x}^2-3x\ge 0\text{cioè se}x\le 0\vee x\ge 3\\ -x^2+3x& \text{se}{x}^2-3x<0\text{cioè se}0<x<3\end{array}$. I valori 0 e 3 sono le radici dell’equazione $x^2-3x=0$ associata alle due disequazioni che è un’equazione spuria del tipo $a{x}^2+bx=0$.]

7. (B) A quali sistemi è equivalente l’equazione $|x^2-3x|=x-3$?

[È equivalente a $\{\begin{array}{c}x\le 0\vee x\ge 3\\ x^2-3x=x-3\end{array}\vee \{\begin{array}{c}0<x<3\\ -x^2+3x=x-3\end{array}$.]

8. (B) Svolgendo le equazioni, come diventa la seguente unione di sistemi $\{\begin{array}{c}x\le 0\vee x\ge 3\\ x^2-3x=x-3\end{array}\vee \{\begin{array}{c}0<x<3\\ -x^2+3x=x-3\end{array}$?

[$\{\begin{array}{c}x\le 0\vee x\ge 3\\ x=1\vee x=3\end{array}\vee \{\begin{array}{c}0<x<3\\ x=-1\vee x=3\end{array}$. Ecco i passaggi: $\{\begin{array}{c}x\le 0\vee x\ge 3\\ x^2-3x=x-3\end{array}\vee \{\begin{array}{c}0<x<3\\ -x^2+3x=x-3\end{array}\to \{\begin{array}{c}x\le 0\vee x\ge 3\\ x^2-3x-x+3=0\end{array}\vee \{\begin{array}{c}0<x<3\\ -x^2+3x-x+3=0\end{array}\to$
$\{\begin{array}{c}x\le 0\vee x\ge 3\\ x^2-4x+3=0\end{array}\vee \{\begin{array}{c}0<x<3\\ -x^2+2x+3=0\end{array}\to \{\begin{array}{c}x\le 0\vee x\ge 3\\ x=1\vee x=3\end{array}\vee \{\begin{array}{c}0<x<3\\ x=-1\vee x=3\end{array}$.]

9. (B) Qual è l’insieme delle soluzioni del sistema $\{\begin{array}{c}x\le 0\vee x\ge 3\\ x=1\vee x=3\end{array}$?

[$S=\left\{3\right\}$.]

10. (B) Qual è l’insieme delle soluzioni del sistema $\{\begin{array}{c}0<x<3\\ x=-1\vee x=3\end{array}$?

[$S=\{\varnothing \}$, cioè l’insieme vuoto.]

11. (B) Qual è la soluzione dell’equazione $|x^2-3x|=x-3$?

[$S=\left\{3\right\}$. A questo risultato si arriva tenendo conto che tale equazione equivale a $\{\begin{array}{c}x\le 0\vee x\ge 3\\ x=1\vee x=3\end{array}\vee \{\begin{array}{c}0<x<3\\ x=-1\vee x=3\end{array}$, e sapendo che il primo sistema ha come soluzione 3 e il secondo l’insieme vuoto.]