11.5 DISEQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI

1. (B) Qual è il metodo per risolvere una disequazione che contiene un valore assoluto?

[È analogo al metodo per risolvere un’equazione che contiene un valore assoluto.]

ESEMPIO

2. (B) Qual è il primo passo per risolvere la seguente disequazione $|x^2-x|-6<x-3$?

[Studiare il valore assoluto: $|x^2-x|=\{\begin{array}{cc}{x}^2-x& \text{se}{x}^2-x\ge 0\text{cioè se}x\le 0\vee x\ge 1\\ -x^2+x& \text{se}{x}^2-x<0\text{cioè se}0<x<1\end{array}$.]

3. (B) Una volta fatto lo studio di $|x^2-x|$, come si procede?

[Si determinano i due sistemi che uniti sono equivalenti alla disequazione di partenza: $\{\begin{array}{c}x\le 0\vee x\ge 1\\ x^2-x-6-x+3<0\end{array}\vee \{\begin{array}{c}0<x<1\\ -x^2+x-6-x+3<0\end{array}$.]

4. (B) Svolgendo la disequazione di secondo grado all’interno del sistema $\{\begin{array}{c}x\le 0\vee x\ge 1\\ x^2-x-6-x+3<0\end{array}$, che sistema si ottiene?

[$\{\begin{array}{c}x\le 0\vee x\ge 1\\ -1<x<3\end{array}$. Infatti $x^2-x-6-x+3<0$ diventa $x^2-2x-3<0$; l’equazione associata $x^2-2x-3=0$ ha per soluzioni −1 e 3. Quindi la disequazione è verificata per $-1<x<3$.]

5. (B) Qual è la soluzione del sistema $\{\begin{array}{c}x\le 0\vee x\ge 1\\ -1<x<3\end{array}$?

[$-1<x\le 0\vee 1\le x<3$.]

6. (B) Svolgendo la disequazione di secondo grado all’interno del sistema $\{\begin{array}{c}0<x<1\\ -x^2+x-6-x+3<0\end{array}$, che sistema si ottiene?

[Semplificando la seconda disequazione il sistema diventa $\{\begin{array}{c}0<x<1\\ -x^2-3<0\end{array}$, e, poiché la seconda disequazione è sempre verificata, la soluzione del sistema coincide con la prima disequazione, ovvero con: $0<x<1$. Vediamo meglio. Per verificare se la disequazione $-x^2-3<0$ è sempre verificata, dobbiamo partire dal fatto che $x^2\ge 0$ è sempre verificata per qualunque valore di x. Moltiplicando $x^2\ge 0$ per −1, si ottiene: $-x^2\le 0$. Nella disequazione $-x^2\le 0$ aggiungiamo −3 a entrambi i membri: $-x^2-3\le 0-3$, che semplificando diventa $-x^2-3\le -3$. Ma, poiché $-3<0$, possiamo riscrivere $-x^2-3\le -3$ così: $-x^2-3\le -3<0$. Quindi, qualunque valore assuma x, l’espressione $-x^2-3$ è sempre minore di zero. In alternativa, si può osservare che l’equazione associata $-x^2-3=0$ non ha soluzioni reali e che la parabola, essendo concava verso il basso, è interamente al di sotto dell’asse x.]

7. (B) Qual è la soluzione della disequazione di partenza, ovvero di $|x^2-x|-6<x-3$?

[$-1<x<3$, che si ottiene unendo le soluzioni dei due sistemi: $-1<x\le 0\vee 1\le x<3$ e $0<x<1$. Infatti, il primo sistema fornisce gli intervalli $(-1,0]$ e $[1,3)$; il secondo sistema fornisce l’intervallo $(0,1)$. L’intervallo $(0,1)$ riempie esattamente il “vuoto” compreso tra 0 e 1; inoltre il punto 0 è già contenuto nel primo intervallo e il punto 1 è già contenuto nel secondo intervallo. Perciò, unendo i tre intervalli, si ottiene un unico intervallo: $(-1,3)$, cioè $-1<x<3$.]