11.6 GRAFICI DI FUNZIONI CON VALORI ASSOLUTI

1. IN GENERALE

1. (A) Qual è la funzione valore assoluto?

[$y=\left|x\right|=\{\begin{array}{cc}x& \text{se}x\ge 0\\ -x& \text{se}x<0\end{array}$.]

2. (A) Che tipo di funzione è la funzione valore assoluto?

[È una funzione definita a tratti, cioè una funzione che nei diversi intervalli in cui è definita assume espressioni diverse.]

3. (A) Qual è il grafico della funzione valore assoluto?

[

$y=x$ è la bisettrice del primo quadrante; $y=-x$ è la bisettrice del secondo quadrante.]

4. (A) Come si fa a tracciare il grafico di un’equazione di secondo grado che contiene un valore assoluto? [

2. ESEMPIO

5. (B) Qual è il primo passo per arrivare a tracciare il grafico dell’equazione $y=|x^2-3|+2x$?

[Si studia il segno dell’argomento del valore assoluto: $|x^2-3|=\{\begin{array}{cc}{x}^2-3& \text{se}{x}^2-3\ge 0\text{cioè se}x\le -\sqrt{3}\vee x\ge \sqrt{3}\\ -x^2+3& \text{se}{x}^2-3<0\text{cioè se}-\sqrt{3}<x<\sqrt{3}\end{array}$. I valori $-\sqrt{3}$ e $\sqrt{3}$ sono le radici dell’equazione associata alle due disequazioni, che è un’equazione pura del tipo $a{x}^2+c=0$.]

6. (B) Una volta studiato il segno dell’argomento del valore assoluto $|x^2-3|$, come si procede?

[Si scrivono le equazioni equivalenti a quella di partenza ma senza valore assoluto: $y=x^2+2x-3$ e $y=-x^2+2x+3$. Infatti, in base alla definizione di valore assoluto, l’equazione $y=|x^2-3|+2x$ è equivalente a $\{\begin{array}{cc}y=x^2+2x-3& \text{se}x\le -\sqrt{3}\vee x\ge \sqrt{3}\\ y=-x^2+2x+3& \text{se}-\sqrt{3}<x<\sqrt{3}\end{array}$.]

7. (B) Qual è il grafico dell’equazione $y=x^2+2x-3$?

[È una parabola con concavità verso l’alto (perché il coefficiente di $x^2$ è positivo) che interseca l’asse y nel punto (0; −3) e l’asse x nei punti (−3; 0) e (1; 0) perché −3 e 1 sono le radici di tale equazione.]

8. (B) Posto che le soluzioni dell’equazione $y=x^2+2x-3$ sono −3 e 1, sono entrambe accettabili?

[$x=-3$ sì $x=1$ no; infatti $x=-3$ è interna, mentre $x=1$ è esterna all’intervallo di definizione $x\le -\sqrt{3}\vee x\ge \sqrt{3}$.]

9. (B) Qual è il grafico dell’equazione $y=-x^2+2x+3$?

[È una parabola con concavità verso il basso (perché il coefficiente di $x^2$ è negativo) che interseca l’asse y nel punto (0; 3) e l’asse x nei punti (−1; 0) e (3; 0) perché −1 e 3 sono le radici di tale equazione.]

10. (B) Posto che le soluzioni dell’equazione $y=-x^2+2x+3$ sono −1 e 3, sono entrambe accettabili?

[$x=-1$ sì $x=3$ no; infatti $x=-1$ appartiene all’intervallo $-\sqrt{3}<x<\sqrt{3}$, mentre $x=3$ è esterno.]

11. (B) Qual è il grafico dell’equazione $y=|x^2-3|+2x$?

[

]