5.11 SCOMPOSIZIONE IN FATTORI DI UN TRINOMIO DI SECONDO GRADO

1. (A) Dato un generico trinomio di secondo grado $a{x}^2+bx+c$ con $a\ne 0$, c’è un metodo immediato per scomporlo in fattori?

[Sì, se e solo se l’equazione ad esso associata $a{x}^2+bx+c=0$ ha un discriminante Δ maggiore o uguale a zero: $\Delta \ge 0$. Se, invece, il discriminante dell’equazione $a{x}^2+bx+c=0$ è minore di zero ($\Delta <0$), il trinomio $a{x}^2+bx+c$ è irriducibile, cioè non è scomponibile in fattori.]

2. (A) Dato un generico trinomio di secondo grado $a{x}^2+bx+c$ con $a\ne 0$, qual è la sua scomposizione in fattori, se l’equazione ad esso associata $a{x}^2+bx+c=0$ ha un discriminante Δ maggiore di zero ($\Delta >0$) e le due soluzioni reali e distinte sono $x_1$ e $x_2$?

[$a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$.

Esempio: dato il trinomio $x^2-2x-15$, sapendo che l’equazione $x^2-2x-15=0$ ha due soluzioni: $x_1=-3$ e $x_2=5$, tale trinomio è scomponibile nei due fattori $(x+3)$ e $(x-5)$: $x^2-2x-15=(x+3)(x-5)$.]

3. (B) Come sono dette le radici $x_1$ e $x_2$ dell’equazione $a{x}^2+bx+c=0$ rispetto al trinomio $a{x}^2+bx+c$ che vogliamo scomporre in fattori?

[Zeri del trinomio.]

4. (B) Come sono detti i binomi di primo grado $(x-x_1)$ e $(x-x_2)$ che costituiscono due dei tre fattori in cui è scomponibile il trinomio $a{x}^2+bx+c$?

[Fattori lineari.]

5. (A) Qual è la formula della scomposizione in fattori di un trinomio $a{x}^2+bx+c$ con $a\ne 0$, nel caso in cui l’equazione ad esso associata $a{x}^2+bx+c=0$ abbia Δ = 0, abbia cioè una sola soluzione reale ($x_1$)?

[$a{x}^2+bx+c=a{(x-x_1)}^2$. Infatti, come abbiamo visto sopra, se Δ > 0 e quindi le soluzioni reali $x_1$ e $x_2$ sono distinte allora $a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$, ma se invece Δ = 0 e quindi le soluzioni reali sono coincidenti (chiamiamole entrambe $x_1$), si ha $a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_1)$, da cui deriva $a{x}^2+bx+c=a{(x-x_1)}^2$.]

6. (B) Qual è il primo passo per scomporre il trinomio $2x^2+5x-3$?

[Scoprire quante e quali sono le radici (soluzioni) dell’equazione $2x^2+5x-3=0$ associata al trinomio in esame. Ecco i passaggi: $\Delta ={\left(5\right)}^2-4\left(2\right)(-3)=25+24=49$. Quindi per conoscere le radici dell’equazione, si applica la formula risolutiva: $x=\frac{-5\pm \sqrt{49}}{2\left(2\right)}=\frac{-5\pm 7}{4}$: $x_1=-3$ e $x_2=\frac{1}{2}$.]

7. (B) Qual è la scomposizione del trinomio $2x^2+5x-3$, sapendo che l’equazione ad esso associata ($2x^2+5x-3=0$) ha le seguenti soluzioni: $x_1=-3$ e $x_2=\frac{1}{2}$?

[$2x^2+5x-3=2(x+3)(x-\frac{1}{2})$. Abbiamo applicato la formula generale: $a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$.]