5.12 PROBLEMI RISOLUBILI CON EQUAZIONI DI SECONDO GRADO

1. PRIMO PROBLEMA

1. (B) Il doppio del quadrato di un numero intero è 162. Qual è l’equazione mediante la quale è possibile sapere qual è il numero corrispondente?

[$2x^2=162$, che è un’equazione pura del tipo $a{x}^2+c=0$; infatti trasportando il termine noto dal secondo membro al primo, abbiamo $2x^2-162=0$.]

2. (B) Se il doppio del quadrato di un numero intero è 162, qual è il numero intero?

[+9 o −9. Infatti, come abbiamo visto sopra, l’equazione per risolverlo è $2x^2=162$. I passaggi sono: $2x^2=162\to x^2=\frac{162}{2}\to x^2=81\to x=9$ o −9, perché la radice di 81 può essere sia 9 che −9.]

2. SECONDO PROBLEMA

3. (B) Di due numeri interi si sa che uno supera l’altro di 2 e che la somma dei loro quadrati è 100. Se si vuole sapere quali sono i due numeri, come conviene indicarli?

[Con x il minore e con x + 2 il maggiore con $x\in \mathbb{Z}$ (dato che numeri interi sono sia quelli negativi che quelli positivi, più lo 0).]

4. (B) Qual è il modello algebrico (l’equazione) che ci permette di trovare due numeri interi x e x + 2, sapendo che la somma delle loro quadrati è 100?

[$x^2+{(x+2)}^2=100$.]

5. (B) Quali sono i due numeri interi cercati in questo problema, sapendo che l’equazione per trovarli è $x^2+{(x+2)}^2=100$?

[O 8 e 6 oppure −8 e −6. Ecco i vari passaggi: $x^2+{(x+2)}^2=100\to x^2+x^2+4x+4=100\to x^2+x^2+4x+4-100=0\to 2x^2+4x-96=0$. Poiché il coefficiente del secondo termine è pari, possiamo trovare il discriminante ridotto: $\frac{\Delta }{4}={\left(\frac{4}{2}\right)}^2-2(-96)=4+192=196$. Avendo il discriminante ridotto (196), possiamo trovare le radici applicando la formula risolutiva ridotta: $x=\frac{-\frac{4}{2}\pm \sqrt{196}}{2}=\frac{-2\pm 14}{2}$: $x_1=\frac{12}{2}=6$ e $x_2=\frac{-16}{2}=-8$. I numeri che cerchiamo non possono essere 6 e −8 contemporaneamente, infatti in questo caso uno non supererebbe l’altro di 2 ma di 14 (−8 + 14 = 6). Se uno dei numeri che cerchiamo è 6, l’altro è 8; se uno dei numeri che cerchiamo è −8, l’altro è −6.]

3. TERZO PROBLEMA

6. (B) Se si vuole conoscere il perimetro di un rettangolo che ha un’area di 91 cm², e l’altezza è minore della base di 6 cm, come si deve impostare il problema per poterlo risolvere?

[Occorre per prima cosa trovare la base del rettangolo attraverso l’equazione $x(x-6)=91$.]

7. (B) Qual è la base di un rettangolo che ha un’area di 91 cm², e l’altezza minore della base di 6 cm?

[13. Per arrivarci dobbiamo risolvere l’equazione $x(x-6)=91$. Ecco i passaggi: $x(x-6)=91\to x^2-6x-91=0$. A questo punto dobbiamo ricavare il discriminante ridotto: $\frac{\Delta }{4}={\left(\frac{-6}{2}\right)}^2-(-91)=\frac{36}{4}+91=9+91=100$. Quindi applichiamo la formula della risoluzione ridotta: $x=\frac{-\frac{-6}{2}\pm \sqrt{100}}{1}=\frac{+3\pm 10}{1}$: $x_1=\frac{-7}{1}=-7$ e $x_2=\frac{13}{1}=13$. Delle due soluzioni solo 13 soddisfa le condizioni del problema.]

4. QUARTO PROBLEMA

8. (B) Le dimensioni di un rettangolo sono 7 e 4, immaginiamo di incrementare sia la base che l’altezza di una stessa quantità in modo da ottenere un secondo rettangolo di area 130 cm². Se il problema è trovare tale quantità, qual è l’equazione che ci permette di risolvere tale problema?

[$(7+x)(4+x)=130$.]

9. (B) Qual è la soluzione del problema?

[6. A tale risultato si arriva così: $(7+x)(4+x)=130\to 28+7x+4x+x^2-130=0\to x^2+11x-102=0$. $\Delta ={11}^2-4(-102)=121+408=529$. $x=\frac{-11\pm \sqrt{529}}{2}=\frac{-11\pm 23}{2}$: $x_1=\frac{-34}{2}=-17$ e $x_2=\frac{12}{2}=6$. Delle due radici ottenute, l’unica compatibile con le condizioni imposte dal problema è 6 (solo se si incrementano le dimensioni del rettangolo di 6 si ottiene un’area di 130 cm²).]