6.1 FUNZIONE $y=a{x}^2$ E PARABOLA

1. (A) Da un punto di vista grafico, in generale, una funzione di secondo grado che cosa rappresenta?

[Una parabola.]

2. (A) Qual è la rappresentazione grafica di una funzione $y=a{x}^2$?

[È una parabola che ha come vertice l’origine degli assi cartesiani e come asse di simmetria l’asse y.]

3. (A) Che cos’è il vertice di una parabola?

[Il punto in cui la parabola interseca il proprio asse. Come abbiamo detto, nel caso di una parabola di funzione $y=a{x}^2$, il vertice coincide con l’origine degli assi cartesiani.]

4. (A) Che cosa significa che una parabola di funzione $y=a{x}^2$ ha come asse di simmetria l’asse delle ordinate?

[Significa che i punti della parabola sono a due a due simmetrici rispetto all’asse delle ordinate.

Esempio: nella parabola $y=\frac{3}{4}{x}^2$, il punto A(2; 3) è simmetrico al punto A’(−2; 3); il punto B(4; 12) è simmetrico al punto B’(−4; 12); il punto C(6; 27) è simmetrico al punto C’(−6; 27)…]

5. (B) Abbiamo detto che il grafico di una funzione $y=a{x}^2$ è una parabola che ha come vertice l’origine degli assi cartesiani e come asse di simmetria l’asse y, ma come deve essere a affinché tale affermazione sia vera?

[Diverso da zero: $a\ne 0$. Infatti se a fosse uguale a zero, la $x^2$ della funzione scomparirebbe e y sarebbe uguale a 0: $y=a{x}^2$ con $a=0$ → $y=0x^2$ → $y=0\cdot x^2$ → $y=0$.]

6. (A) Le ordinate dei punti di una parabola di equazione $y=a{x}^2$ sono positive o negative?

[Dipende da a: se $a>0$, le ordinate di tutti i punti della parabola sono positive e la parabola è concava verso l’alto; se $a<0$, le ordinate di tutti i punti della parabola sono negative e la parabola è concava verso il basso. In entrambi i casi c’è un solo punto che fa eccezione.]

7. (A) Qual è l’unico punto di una parabola di equazione $y=a{x}^2$ che non ha l’ordinata positiva o negativa ma uguale a zero?

[Il vertice della parabola: sia nel caso di una parabola con concavità rivolta verso il basso sia nel caso di una parabola con concavità rivolta verso l’alto, il vertice di una parabola $y=a{x}^2$ è sempre O(0; 0).]

8. (A) Com’è detto il vertice di una parabola di equazione $y=a{x}^2$?

[Punto di minimo (o punto di ordinata minima) il vertice di una parabola concava verso l’alto; punto di massimo (o punto di ordinata massima) il vertice di una parabola concava verso il basso.]

9. (A) Da che cosa dipende l’ampiezza (o apertura) di una parabola del tipo $y=a{x}^2$?

[Da a: all’aumentare di a in valore assoluto, diminuisce l’ampiezza della parabola; al diminuire di a in valore assoluto, aumenta l’ampiezza della parabola. Questo vale sia che la parabola sia concava verso l’alto sia che la parabola sia concava verso il basso.

Esempio 1: la parabola $y=2x^2$ è più ampia della parabola $y=6x^2$. Esempio 2: la parabola $y=-2x^2$ è più ampia della parabola $y=-6x^2$.]

10. (B) Quali sono le differenze a livello grafico tra la parabola $y=-\frac{1}{2}{x}^2$ e la parabola $y=-\frac{1}{3}{x}^2$?

[Le due parabole hanno lo stesso vertice (O) e lo stesso asse di simmetria e hanno entrambe concavità rivolta verso il basso, ma hanno diversa ampiezza: la parabola $y=-\frac{1}{3}{x}^2$ è più ampia della parabola $y=-\frac{1}{2}{x}^2$.]

11. (A) Come viene detta l’equazione $y=a{x}^2$?

[Equazione normale o canonica.]

12. (A) Che tipo di funzione è l’equazione $y=a{x}^2$?

[Una funzione di proporzionalità quadratica (vedi il capitolo “Proporzionalità quadratica” della lezione “Funzioni” di Algebra I).]

13. (A) Che cos’è una funzione di proporzionalità quadratica del tipo $y=a{x}^2$?

[È una funzione in cui il rapporto tra il valore di y e il quadrato di x è costante: $\frac{y}{x^2}=a$ dove a è una costante (talvolta viene indicata con la lettera k). Ecco i passaggi: $y=a{x}^2\to \frac{y}{x^2}=\frac{a{x}^2}{x^2}\to \frac{y}{x^2}=a$.

Esempio: sono in rapporto di proporzionalità quadratica il lato (x) e l’area (y) di un quadrato: il rapporto tra le aree dei quadrati e il quadrato dei loro lati è sempre costante: $\frac{4}{2^2}=\frac{9}{3^2}=\frac{16}{4^2}=\frac{25}{5^2}=1$.]

14. (B) In una funzione di proporzionalità quadratica, all’aumentare del quadrato di x, aumenta sempre anche y?