6.2 FUNZIONE $y=a{x}^2+bx+c$ E PARABOLA

1. (A) Qual è il grafico della funzione $y=a{x}^2+bx+c$ con $a\ne 0$?

[Una parabola il cui vertice può essere un qualsiasi punto del piano cartesiano (mentre il vertice della parabola di equazione $y=a{x}^2$ è sempre l’origine degli assi) e il cui asse di simmetria è parallelo all’asse y ma non necessariamente coincide con esso (mentre l’asse di simmetria della parabola di equazione $y=a{x}^2$ coincide sempre con l’asse y).]

2. (A) Da che cosa è determinata l’ampiezza (apertura) di una parabola di equazione $y=a{x}^2+bx+c$?

[Come nel caso della parabola di equazione $y=a{x}^2$, è determinata dalla costante a: maggiore è il valore assoluto di a, minore è l’ampiezza della parabola e viceversa.]

3. (A) Da che cosa dipende la concavità di una parabola di equazione $y=a{x}^2+bx+c$?

[Come nel caso della parabola di equazione $y=a{x}^2$, dipende dal segno di a: se a è positivo ($a>0$), la parabola è concava verso l’alto; se a è negativo ($a<0$), la parabola è concava verso il basso.]

4. (A) Com’è l’equazione dell’asse di simmetria di una parabola di equazione $y=a{x}^2+bx+c$?

[$x=-\frac{b}{2a}$. Si tratta sempre di una retta verticale parallela all’asse delle y.]

5. (A) Quali sono le coordinate del vertice V di una parabola di equazione $y=a{x}^2+bx+c$?

[$V(-\frac{b}{2a};-\frac{b^2-4ac}{4a})$.]

6. (A) Data la parabola di equazione $y=a{x}^2+bx+c$, che cosa rappresenta $-\frac{b}{2a}$?

[Sia il valore x dell’equazione dell’asse di simmetria, sia l’ascissa del vertice V della parabola.]

7. (B) Qual è l’equazione dell’asse di simmetria della parabola di equazione $y=3x^2+12x+5$?

[$x=-2$. Per arrivarci, basta applicare l’equazione generale dell’asse di simmetria $x=-\frac{b}{2a}$: $x=-\frac{12}{2\left(3\right)}=-\frac{12}{6}=-2$.]

8. (B) Qual è l’ascissa del vertice V della parabola di equazione $y=3x^2+12x+4$?

[−2. Infatti la formula generale è $x=-\frac{b}{2a}$, quindi nel caso specifico abbiamo: $x=-\frac{12}{2\left(3\right)}=-\frac{12}{6}=-2$.]

9. (B) Qual è l’ordinata del vertice V della parabola di equazione $y=3x^2+12x+4$?

[−8. Infatti la formula generale è $y=-\frac{b^2-4ac}{4a}$, quindi nel caso specifico abbiamo: $x=-\frac{{12}^2-4\left(3\right)\left(4\right)}{4\left(3\right)}=-\frac{144-48}{12}=-\frac{96}{12}=-\frac{8}{1}==-8$.]

10. (B) Se conosciamo l’equazione di una parabola e la formula dell’ascissa del vertice, come possiamo trovare l’ordinata del vertice?

[Basta sostituire il valore dell’ascissa del vertice, $x=-\frac{b}{2a}$, nell’equazione della parabola e svolgere i calcoli: il valore ottenuto è l’ordinata del vertice.

Esempio: troviamo l’ordinata del vertice della parabola $y=x^2-4x+3$. L’ascissa del vertice è $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\cdot 1}=2$. Per trovare l’ordinata del vertice basta sostituire questo valore nell’equazione della parabola: $y=2^2-4\cdot 2+3=4-8+3=-1$. Quindi il vertice della parabola è $V(2;-1)$.]