8.10 PROPORZIONALITÀ QUADRATICA

1. (A) Quand’è che due grandezze variabili sono legate da un rapporto di proporzionalità quadratica?

[Quando il rapporto tra il valore di una delle due grandezze e il quadrato dell’altra (entrambi diversi da zero) è costante:

\frac{y}{x^{2}} = k

. C’è, per esempio, un rapporto di proporzionalità quadratica tra l’area di un quadrato e il quadrato del suo lato: l’area cresce proporzionalmente al quadrato del suo lato.

Esempio: immaginiamo che:

con x ci riferiamo al lato di un quadrato e con y alla sua area;
se i valori che assegniamo a x sono 2, 3, 4, 5, i valori corrispondenti di y sono 4, 9, 16, 25;
possiamo constatare che il rapporto tra le aree di questi quadrati e il quadrato dei loro lati è sempre costante, e precisamente uguale a 1: $\frac{4}{2^{2}} = \frac{9}{3^{2}} = \frac{16}{4^{2}} = \frac{25}{5^{2}} = 1$ .]

2. (A) Com’è l’equazione in forma analitica di una funzione di proporzionalità quadratica (o, semplicemente, funzione quadratica)?

[ $y = k x^{2}$ . Si ottiene da $\frac{y}{x^{2}} = k$ , così: $\frac{y}{x^{2}} = k \to x^{2} \cdot \frac{y}{x^{2}} = k \cdot x^{2} \to y = k x^{2}$ .]

3. (B) Che cosa rappresenta la lettera k dell’espressione analitica di una funzione di proporzionalità quadratica $y = k x^{2}$ ?

[Una costante che può essere un qualsiasi numero reale, per definizione diverso da zero. Se k fosse uguale a zero, x² si annullerebbe (perché il prodotto di due fattori di cui uno è zero è esso stesso zero; esempio: 0 · 5 = 0) e y sarebbe uguale a zero: $y = 0 x^{2} \to y = 0$ .]

4. (A) Qual è la rappresentazione grafica di una funzione di proporzionalità quadratica?

[Una parabola se i valori assunti dalla variabile indipendente x sono anche negativi, oppure un ramo di parabola se i valori assunti dalla x sono solo positivi, come nel caso delle lunghezze di figure geometriche.]

Grafico di una funzione di proporzionalità quadratica

5. (B) Prendiamo l’espressione analitica di una funzione di proporzionalità quadratica $y = k x^{2}$ , che ne è di y se x raddoppia o triplica?

[Se x raddoppia, y diventa quattro volte più grande; se x triplica, y diventa nove volte più grande; in generale, se si moltiplica x per n, il valore di y deve essere moltiplicato per $n^{2}$ .]

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