5.10 REGOLA DI CARTESIO

1. PERMANENZE E VARIAZIONI

1. (A) A che cosa serve la regola di Cartesio?

[A determinare il segno delle radici reali (cioè delle soluzioni nell’insieme ℝ dei numeri reali) di un’equazione completa di secondo grado senza risolverla. Ovviamente l’equazione deve avere discriminate positivo o nullo, perché, come sappiamo, se il discriminante è negativo, l’equazione non ha soluzioni (radici).]

2. (A) Che cosa occorre osservare per applicare la regola di Cartesio?

[La permanenza e la variazione relative ai segni dei coefficienti dell’equazione di cui vogliamo determinare il segno delle radici.]

3. (A) Che cosa sono, rispettivamente, la permanenza e la variazione relative ai segni dei coefficienti di un’equazione, o meglio, del polinomio ordinato secondo una variabile che costituisce il primo membro dell’equazione?

[Un polinomio ordinato secondo una variabile:

presenta una permanenza quando i suoi coefficienti consecutivi hanno lo stesso segno;
presenta una variazione quando i suoi coefficienti consecutivi sono discordi.]

4. (B) Nel polinomio $3 x^{4} + 2 x^{3} - 4 x^{2} + x + 7$ sono presenti permanenze o variazioni?

[Sono presenti 2 permanenze e 2 variazioni: i primi due termini ( $+ 3 x^{4}$ e $+ 2 x^{3}$ ), avendo lo stesso segno, costituiscono una permanenza; il secondo e il terzo termine ( $+ 2 x^{3}$ e $- 4 x^{2}$ ), essendo discordi, costituiscono una variazione; il terzo e il quarto termine ( $- 4 x^{2}$ e $+ x$ ), essendo discordi, costituiscono una variazione; il quarto e il quinto termine ( $+ x$ e $+ 7$ ), avendo lo stesso segno, costituiscono una permanenza.]

5. (B) Quante e quali permanenze e variazioni ha la seguente equazione completa di secondo grado: $3 x^{2} + 5 x - 9 = 0$ ?

[Una permanenza (perché i due termini consecutivi $+ 3 x^{2}$ e $+ 5 x$ sono concordi) e una variazione (perché i due termini consecutivi $+ 5 x$ e $- 9$ sono discordi).]

6. (A) Quali casi di possibili combinazioni di segni si possono presentare nell’equazione di secondo grado completa $a x^{2} + b x + c = 0$ se supponiamo che a sia positivo ( $a > 0$ )?

[

Possibili combinazioni di permanenze e variazioni dei segni dei coefficienti

]

7. (B) Data l’equazione di secondo grado completa $a x^{2} + b x + c = 0$ , come si fa a ricondursi ai quattro possibili casi mostrati in figura?

Quattro casi di permanenza e variazione dei coefficienti

[Basta moltiplicare entrambi i membri dell’equazione per −1.]

2. PRIMO CASO

8. (A) Nel caso in cui l’equazione $a x^{2} + b x + c = 0$ relativamente ai segni dei coefficienti abbia due permanenze (e nessuna variazione) come mostrato in figura, come sono i segni delle radici (soluzioni) dell’equazione?

Primo caso della regola di Cartesio con due permanenze

[Sono entrambi negativi: $x_{1} < 0$ e $x_{2} < 0$ .]

9. (B) Come facciamo a sapere che, se l’equazione $a x^{2} + b x + c = 0$ presenta due permanenze come mostrato in figura, allora i segni delle radici (soluzioni) sono entrambi negativi?

[Dal fatto che il loro prodotto è positivo ( $x_{1} \cdot x_{2} > 0$ ) deduciamo che sono concordi e che quindi devono essere entrambe positive o entrambe negative, ma dal fatto che la loro somma è negativa ( $x_{1} + x_{2} < 0$ ) deduciamo che sono entrambe negative (non entrambe positive).]

10. (B) Come facciamo a sapere che il prodotto delle radici dell’equazione $a x^{2} + b x + c = 0$ (con $a > 0, b > 0; c > 0$ ) è positivo e la loro somma è negativa?

[Che il prodotto (p) delle radici è positivo lo deduciamo dal fatto che, in un’equazione $a x^{2} + b x + c = 0$ , $p = \frac{c}{a}$ ; che la somma (s) delle radici è negativa lo deduciamo dal fatto che, in un’equazione $a x^{2} + b x + c = 0$ , $s = - \frac{b}{a}$ (si veda il capitolo “Relazioni tra radici e coefficienti di un’equazioni di secondo grado”).]

3. SECONDO CASO

11. (A) Nel caso in cui l’equazione $a x^{2} + b x + c = 0$ relativamente ai segni dei coefficienti abbia una permanenza e una variazione come mostrato in figura, come sono i segni delle radici (soluzioni) dell’equazione?

Secondo caso della regola di Cartesio con una permanenza e una variazione

[Una è positiva e l’altra negativa e delle due è negativa quella che ha valore assoluto maggiore: se $| x_{1} | > | x_{2} |$ allora $x_{1} < 0$ e $x_{2} > 0$ .]

12. (B) Come facciamo a sapere che, se l’equazione $a x^{2} + b x + c = 0$ presenta una permanenza e una variazione come mostrato in figura, allora una radice (soluzione) è positiva e l’altra negativa?

[Poiché per ipotesi a è positivo e c è negativo allora $\frac{c}{a} < 0$ , quindi anche il prodotto delle due soluzioni è negativo ( $x_{1} \cdot x_{2} < 0$ ) perché $\frac{c}{a} = x_{1} \cdot x_{2}$ , ma per la legge dei segni il prodotto di due fattori è negativo quando un fattore è positivo e l’altro negativo.]

13. (B) Come facciamo a sapere che delle due soluzioni discordi dell’equazione $a x^{2} + b x + c = 0$ che presenta una permanenza e una variazione, come mostrato in figura, quella negativa è quella che ha valore assoluto maggiore?

[Essendo i coefficienti a e b entrambi positivi, $- \frac{b}{a} < 0$ , quindi anche la somma delle radici è inferiore a zero ( $x_{1} + x_{2} < 0$ ), ma se due numeri sono discordi, la loro somma è negativa solo se il valore assoluto dell’addendo negativo è maggiore del valore assoluto dell’addendo positivo (esempio: $- 5 + 3 = - 2$ infatti $| - 5 | > | + 3 |$ ).]

4. TERZO CASO

14. (A) Nel caso in cui l’equazione $a x^{2} + b x + c = 0$ relativamente ai segni dei coefficienti abbia due variazioni e nessuna permanenza come mostrato in figura, come sono i segni delle radici (soluzioni) dell’equazione?

Terzo caso della regola di Cartesio con due variazioni

[Le radici sono entrambe positive: $x_{1} > 0$ e $x_{2} > 0$ .]

15. (B) Come facciamo a sapere che, se l’equazione $a x^{2} + b x + c = 0$ presenta due variazioni e nessuna permanenza come mostrato in figura, allora entrambe le radici (soluzioni) sono positive?

[Per ipotesi $a > 0$ e $c > 0$ quindi $\frac{c}{a} > 0$ , pertanto anche il prodotto delle due radici è positivo ( $x_{1} \cdot x_{2} > 0$ ); ciò significa che i due fattori $x_{1}$ e $x_{2}$ devono essere concordi (o entrambi negativi o entrambi positivi), ma poiché $a > 0$ e $b < 0$ , $- \frac{b}{a} > 0$ , e quindi $x_{1} + x_{2} > 0$ , gli addendi $x_{1}$ e $x_{2}$ devono essere entrambi positivi.]

5. QUARTO CASO

16. (A) Nel caso in cui l’equazione $a x^{2} + b x + c = 0$ relativamente ai segni dei coefficienti abbia una permanenza e una variazione come mostrato in figura, come sono i segni delle radici (soluzioni) dell’equazione?

Quarto caso della regola di Cartesio con una variazione e una permanenza

[Le radici sono discordi e la radice positiva è quella maggiore anche in valore assoluto: se $| x_{1} | > | x_{2} |$ allora $x_{1} > 0$ e $x_{2} < 0$ .]

17. (B) Come facciamo a sapere che, se l’equazione $a x^{2} + b x + c = 0$ presenta una permanenza e una variazione come mostrato in figura, allora le radici (soluzioni) sono discordi?

[Poiché per ipotesi a è positivo e c è negativo allora $\frac{c}{a} < 0$ , quindi anche il prodotto delle due soluzioni è negativo ( $x_{1} \cdot x_{2} < 0$ ) perché $\frac{c}{a} = x_{1} \cdot x_{2}$ , ma per la legge dei segni il prodotto di due fattori è negativo quando un fattore è positivo e l’altro negativo.]

18. (B) Come facciamo a sapere che delle due soluzioni discordi dell’equazione $a x^{2} + b x + c = 0$ che presenta una permanenza e una variazione, come mostrato in figura, quella positiva è quella maggiore anche in valore assoluto?

[Essendo $a > 0$ e $b < 0$ , $- \frac{b}{a} > 0$ , quindi anche la somma delle radici è maggiore di zero ( $x_{1} + x_{2} > 0$ ), ma se due numeri sono discordi, la loro somma è positiva solo se il valore assoluto dell’addendo positivo è maggiore del valore assoluto dell’addendo negativo (esempio: $+ 5 - 3 = + 2$ infatti $| + 5 | > | - 3 |$ ).]

6. REGOLA DI CARTESIO IN SINTESI

19. (A) Che cosa afferma la regola di Cartesio?

[In un’equazione $a x^{2} + b x + c = 0$ con Δ ≥ 0:

a ogni variazione dei segni dei coefficienti corrisponde una soluzione positiva;
a ogni permanenza corrisponde una soluzione negativa;

se le soluzioni sono discordi, quella positiva:

ha valore assoluto maggiore se la variazione precede la permanenza;
ha valore assoluto minore se la permanenza precede la variazione.]

Quiz

Quiz precedente

Torna a Lezione

Quiz successivo