5.9 RELAZIONI TRA RADICI E COEFFICIENTI DI UN’EQUAZIONE DI SECONDO GRADO

1. SOMMA DELLE RADICI DI UN’EQUAZIONE DI SECONDO GRADO

1. (A) Data l’equazione $a x^{2} + b x + c = 0$ , se tale equazione ammette due soluzioni reali (Δ ≥ 0), qual è la loro somma?

[ $- \frac{b}{a}$ ; se chiamiamo s la somma delle soluzioni, la formula è: $s = - \frac{b}{a}$ . In pratica, la formula della somma delle due soluzioni reali dell’equazione di secondo grado è uguale al rapporto, cambiato di segno, tra il coefficiente di x e quello di $x^{2}$ .]

2. (B) Perché la somma delle due soluzioni reali di una equazione di secondo grado del tipo $a x^{2} + b x + c = 0$ è $- \frac{b}{a}$ ?

[Perché se l’equazione ha due soluzioni reali e distinte, esse sono $x_{1} = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ e $x_{2} = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ e la loro somma è $- \frac{b}{a}$ .

Infatti, $\frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} + \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c} - b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{- b - b}{2 a} = \frac{- 2 b}{2 a} = - \frac{b}{a}$ .]

3. (B) Data l’equazione $3 x^{2} - 7 x + 18 = 0$ , qual è la somma delle sue radici (soluzioni)?

[ $\frac{7}{3}$ . Infatti applicando la formula generale per la somma delle radici $s = - \frac{b}{a}$ , dove b è il coefficiente del secondo termine e a quello del primo, si ha: $- \frac{- 7}{3} = \frac{7}{3}$ .]

2. PRODOTTO DELLE RADICI DI UN’EQUAZIONE DI SECONDO GRADO

4. (A) Data l’equazione $a x^{2} + b x + c = 0$ , se tale equazione ammette due radici (soluzioni) reali (Δ ≥ 0), qual è il loro prodotto?

[ $\frac{c}{a}$ ; se chiamiamo p il prodotto delle soluzioni, la formula è: $p = \frac{c}{a}$ . In pratica, la formula del prodotto delle due soluzioni reali di un’equazione di secondo grado è uguale al rapporto tra il termine noto e il coefficiente di $x^{2}$ .]

5. (B) Perché il prodotto delle due radici (soluzioni) reali di una equazione di secondo grado del tipo $a x^{2} + b x + c = 0$ è $\frac{c}{a}$ ?

[Ci si arriva moltiplicando tra loro le due soluzioni ( $x_{1}$ e $x_{2}$ ) dell’equazione: $x_{1} = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ . Vediamo i passaggi: $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \cdot \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{b^{2} - (b^{2} - 4 a c)}{4 a^{2}} = \frac{b^{2} - b^{2} + 4 a c}{4 a^{2}} = \frac{4 a c}{4 a^{2}} = \frac{c}{a}$ .]

6. (B) Data l’equazione $3 x^{2} - 2 x - 18 = 0$ , qual è il prodotto delle radici (soluzioni)?

[−6. Infatti applicando la formula generale per il prodotto delle radici $p = \frac{c}{a}$ , dove c è il termine noto e a il coefficiente del primo termine, abbiamo: $\frac{- 18}{3} = \frac{- 6}{1} = - 6$ .]

7. (B) Data l’equazione $x^{2} - 2 x - 15 = 0$ , sapendo che una soluzione è 5, è possibile calcolare l’altra soluzione senza risolvere l’equazione?

[Sì, in due modi:

o si calcola la somma delle soluzioni e da essa si sottrae 5,
oppure si calcola il prodotto delle soluzioni e lo si divide per 5.

Modo a: la somma delle soluzioni è: $- \frac{- 2}{1}$ cioè 2; se a 2 si sottrae 5, si ottiene −3; quindi una soluzione dell’equazione è 5, l’altra è −3;

Modo b: il prodotto delle soluzioni è $\frac{- 15}{1}$ cioè −15; se si divide −15 per 5, si ottiene −3; quindi una soluzione dell’equazione è 5, l’altra è −3.]

3. SOMMA E PRODOTTO DELLE RADICI DI UN’EQUAZIONE DI SECONDO GRADO

8. (A) Data l’equazione in forma normale $a x^{2} + b x + c = 0$ , è possibile individuare in essa la somma s delle soluzioni e il prodotto p delle soluzioni?

[Sì, $x^{2} - s x + p = 0$ , ma solo se a (il primo coefficiente) di $a x^{2} + b x + c = 0$ è uguale a 1. In altre parole, data l’equazione $a x^{2} + b x + c = 0$ , se $a = 1$ , allora b è uguale alla somma s delle soluzioni cambiato di segno; c è uguale al prodotto p delle soluzioni.

Esempio: data l’equazione $x^{2} - 2 x - 15 = 0$ , la somma delle soluzioni è 2, cioè è uguale al secondo coefficiente cambiato di segno; il prodotto delle soluzioni è −15, cioè è uguale al termine noto.]

9. (B) Osservando l’equazione $x^{2} + 8 x + 7 = 0$ , senza svolgere i calcoli, si può dire quali sono la somma s delle radici (soluzioni) e il loro prodotto p?

[Sì, essendo il coefficiente del primo termine uguale a 1, la somma delle radici è −8 (cioè è uguale al secondo coefficiente cambiato di segno), il prodotto delle radici è +7 (cioè è uguale al termine noto). Lo possiamo verificare andando a risolvere l’equazione. Applicando la formula ridotta abbiamo: $\frac{Δ}{4} = {(\frac{8}{2})}^{2} - (1) (7) = \frac{64}{4} - 7 = 16 - 7 = 9$ . Quindi si applica la formula $x = \frac{- \frac{b}{2} \pm \sqrt{\frac{Δ}{4}}}{a}$ : $x = \frac{- \frac{8}{2} \pm \sqrt{9}}{1} = - 4 \pm 3$ . Si hanno quindi due radici (soluzioni): $x_{1} = - 4 + 3 = - 1$ e $x_{2} = - 4 - 3 = - 7$ . Pertanto la somma s delle soluzioni è −8 come il coefficiente del secondo termine cambiato di segno; il prodotto p delle soluzioni è + 7 come il termine noto dell’equazione.]

10. (B) Come si spiega il fatto che, data l’equazione in forma normale $a x^{2} + b x + c = 0$ , essa equivale all’equazione $x^{2} - s x + p = 0$ , dove s è la somma delle soluzioni ( $x_{1}$ e $x_{2}$ ) e p è il prodotto di tali soluzioni?

[Perché, dato che $a \neq 0$ , possiamo dividere per a i due membri di $a x^{2} + b x + c = 0$ , ottenendo $x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0$ e, poiché $\frac{b}{a}$ equivale a $- (- \frac{b}{a})$ che, a sua volta, equivale a −s, e $\frac{c}{a}$ equivale a p, abbiamo: $x^{2} - (- \frac{b}{a}) x + \frac{c}{a} = 0 \to x^{2} - s x + p = 0$ . Mettendo tutti i passaggi in fila abbiamo: $a x^{2} + b x + c = 0 \to x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0 \to x^{2} - (- \frac{b}{a}) x + \frac{c}{a} = 0 \to x^{2} - s x + p = 0$ .]

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