5.8 FORMULA RISOLUTIVA RIDOTTA

1. (A) Com’è la formula risolutiva ridotta di un’equazione di secondo grado che, talvolta, si può al posto della formula risolutiva $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$?

[$x=\frac{-\frac{b}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{b}{2}\right)}^2-ac}}{a}$.]

2. (A) Quali condizioni devono sussistere affinché per risolvere un’equazione di secondo grado, al posto della formula risolutiva $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$, si possa utilizzare la formula ridotta?

[Occorre che il coefficiente b dell’equazione di secondo grado $a{x}^2+bx+c=0$ sia pari.]

3. (B) Come si arriva alla formula risolutiva ridotta $x=\frac{-\frac{b}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{b}{2}\right)}^2-ac}}{a}$?

[Partendo dalla formula risolutiva normale $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$, prima si raccoglie 4 sotto il segno di radice; $x=\frac{-b\pm \sqrt{4(\frac{b^2}{4}-ac)}}{2a}$, poi si porta il fattore 4 fuori dalla radice: $x=\frac{-b\pm 2\sqrt{\frac{b^2}{4}-ac}}{2a}$, infine si divide per 2 sia il numeratore che il denominatore: $x=\frac{-\frac{b}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{b}{2}\right)}^2-ac}}{a}$.]

4. (A) Abbiamo visto che il discriminante per la formula risolutiva $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ è Δ; qual è il discriminante per la formula risolutiva ridotta?

[$\frac{\Delta }{4}$; infatti $\frac{\Delta }{4}={\left(\frac{b}{2}\right)}^2-ac=\frac{b^2-4ac}{4}$. Il discriminante $\frac{\Delta }{4}$ è detto “discriminante ridotto”.]

5. (B) Qual è la soluzione della seguente equazione $x^2+12x-13=0$ (applicare la formula risolutiva ridotta)?

[$x_1=0$; $x_2=-14$. Analizziamo i passaggi per giungere a questo risultato: poiché il coefficiente b è un numero pari (12), possiamo applicare la formula risolutiva ridotta. $\frac{\Delta }{4}={\left(\frac{12}{2}\right)}^2-1(-13)=6^2+13=36+13=49$. Poiché $\frac{\Delta }{4}>0$, l’equazione ha due radici (soluzioni) reali e distinte: $x=\frac{-\frac{14}{2}\pm \sqrt{49}}{1}=-7\pm 7$

]

6. (B) Qual è il discriminante dell’equazione $x^2+2x+5=0$?

[$\frac{\Delta }{4}=-4$. Ecco come ci si arriva: $\frac{\Delta }{4}={\left(\frac{2}{2}\right)}^2-1\left(5\right)=1^2-5=1-5=-4$.]

7. (B) Qual è la soluzione dell’equazione $x^2+2x+5=0$ avente come discriminante $\frac{\Delta }{4}=-4$?

[Poiché il discriminante è negativo, l’equazione non ammette soluzioni reali.]