5.7 DISCRIMINANTE E FORMULA RISOLUTIVA

1. SE $b^{2} - 4 a c > 0$

1. (A) Se $b^{2} - 4 a c > 0$ , è possibile risolvere l’equazione ${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}$ ?

[Sì, perché, se $b^{2} - 4 a c$ è maggiore di zero, l’intero secondo membro $(\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}})$ è un numero reale positivo, dato che anche il denominatore $4 a^{2}$ lo è, quindi è possibile estrarre la radice quadrata al secondo membro e eliminare l’esponente del termine al primo membro dell’equazione. Che $4 a^{2}$ rappresenti un numero reale positivo lo sappiamo dal fatto che una potenza con esponente 2 è sempre maggiore di 0 (esempi: $2^{2} = 4; {(- 2)}^{2} = 4;$ ).]

2. (B) Come diventa l’equazione ${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}$ , se, per risolverla, eliminiamo l’esponente al primo membro e mettiamo il segno di radice quadrata al secondo membro?

[ $x + \frac{b}{2 a} = \pm \sqrt{\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}}$ . Vediamo meglio: ${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}} \to \sqrt{{(x + \frac{b}{2 a})}^{2}} = \pm \sqrt{\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}} \to x + \frac{b}{2 a} = \pm \sqrt{\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}}$ .]

3. (B) Come si fa a ottenere il valore di x dell’equazione $x + \frac{b}{2 a} = \pm \sqrt{\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}}$ ?

[Bisogna portare $\frac{b}{2 a}$ al secondo membro e sommarlo a $\pm \sqrt{\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}}$ .]

4. (B) Data l’equazione $x + \frac{b}{2 a} = \pm \sqrt{\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}}$ , come possiamo portare $\frac{b}{2 a}$ al secondo membro e sommarlo a $\pm \sqrt{\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}}$ ? [

Lo facciamo in due passaggi:

$x + \frac{b}{2 a} = \pm \sqrt{\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}} \to x + \frac{b}{2 a} = \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ ;
$x + \frac{b}{2 a} = \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \to x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ .
Con il primo passaggio abbiamo estratto la radice quadrata al denominatore del secondo membro e abbiamo ottenuto un denominatore comune a tale frazione e a $\frac{b}{2 a}$ del primo membro.
Con il secondo passaggio abbiamo trasportato $\frac{b}{2 a}$ al secondo membro cambiandogli il segno e lo abbiamo sommato alla frazione $\pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ .]

5. (A) In definitiva, qual è la soluzione di ${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}$ , se $b^{2} - 4 a c > 0$ ?

[Sono due le soluzioni: $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ perché c’è il segno “±”. Se le vogliamo scrivere in modo separato, le due soluzioni sono: $x_{1} = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ e $x_{2} = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ .]

6. (A) Com’è detta la formula $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ che rappresenta la soluzione di un’equazione di secondo grado se $b^{2} - 4 a c > 0$ ?

[Formula risolutiva.]

2. SE $b^{2} - 4 a c = 0$

7. (A) Se $b^{2} - 4 a c = 0$ , è possibile risolvere l’equazione ${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}$ ?

[Sì, e la soluzione è $x = - \frac{b}{2 a}$ .]

8. (B) Se $b^{2} - 4 a c = 0$ , come si arriva alla soluzione $x = - \frac{b}{2 a}$ dell’equazione ${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}$ ?

[Dato che il numeratore ( $b^{2} - 4 a c$ ) della frazione al secondo membro è uguale a 0 e il denominatore ( $4 a^{2}$ ) è maggiore di 0, l’intera frazione è uguale a 0; perciò si ha: ${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = 0$ ; quindi anche $x + \frac{b}{2 a} = 0$ e, trasportando $\frac{b}{2 a}$ al secondo membro, si ottiene: $x = - \frac{b}{2 a}$ .]

3. SE $b^{2} - 4 a c < 0$

9. (A) Se $b^{2} - 4 a c < 0$ , è possibile risolvere l’equazione ${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}$ ?

[No, l’equazione non ha soluzione nell’insieme ℝ, perché il primo membro, essendo un quadrato, è positivo o nullo, mentre il secondo membro, per ipotesi, è negativo.]

4. IL DISCRIMINANTE

10. (A) Come si chiama l’espressione $b^{2} - 4 a c$ che, come abbiamo visto, permette di stabilire se un’equazione di secondo grado completa può essere risolta?

[Discriminante.]

11. (A) Come viene indicato il discriminante $b^{2} - 4 a c$ di un’equazione di secondo grado?

[Con il simbolo Δ (leggi: delta).]

12. (A) Ricapitolando, quali sono le soluzioni di un’equazione di secondo grado completa, rispettivamente, se Δ > 0, Δ = 0, Δ < 0? [

se Δ > 0, l’equazione ha due soluzioni distinte: $x_{1} = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ e $x_{2} = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ ;
se Δ = 0, l’equazione ha due soluzioni coincidenti: $x = - \frac{b}{2 a}$ ;
se Δ < 0, l’equazione non ha soluzione reale.]

5. FORMULA RISOLUTIVA

13. (A) Che cos’è la formula risolutiva di un’equazione di secondo grado?

[La soluzione dell’equazione se $b^{2} - 4 a c > 0$ , ed è la seguente: $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ .]

14. (A) Come diventa la formula risolutiva se vi inseriamo il discriminante Δ?

[ $x = \frac{- b \pm \sqrt{Δ}}{2 a}$ .]

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5.7 DISCRIMINANTE E FORMULA RISOLUTIVA

1. SE b2−4ac>0

2. SE b2−4ac=0

3. SE b2−4ac<0

4. IL DISCRIMINANTE

5. FORMULA RISOLUTIVA

1. SE $b^{2} - 4 a c > 0$

2. SE $b^{2} - 4 a c = 0$

3. SE $b^{2} - 4 a c < 0$