5.6 RISOLUZIONE DI UN’EQUAZIONE COMPLETA

1. (A) Un’equazione di secondo grado completa ( $a x^{2} + b x + c = 0$ ) può essere risolta con un metodo chiamato “metodo del completamento del…”?

[Metodo del completamento del quadrato.]

2. (A) In che cosa consiste il metodo del completamento del quadrato per la risoluzione di un’equazione di secondo grado completa?

[Nel costruire nel primo membro dell’equazione il quadrato di un binomio manipolando i primi due termini ( $a x^{2}$ e $b x$ ).]

3. (B) Quali sono i primi due passi per risolvere l’equazione $a x^{2} + b x + c = 0$ secondo il metodo del completamento del quadrato? [

Portare il termine noto al secondo membro: $a x^{2} + b x = - c$ (primo principio di equivalenza);
dividere tutti i termini per a, il coefficiente di $x^{2}$ : $\frac{a}{a} x^{2} + \frac{b}{a} x = - \frac{c}{a}$ → $x^{2} + \frac{b}{a} x = - \frac{c}{a}$ (questa operazione è sempre possibile perché, per ipotesi, $a \neq 0$ ).]

4. (A) Una volta che abbiamo trasformato l’equazione $a x^{2} + b x + c = 0$ nell’equivalente $x^{2} + \frac{b}{a} x = - \frac{c}{a}$ , qual è il passo successivo?

[Scrivere $\frac{b}{a} x$ in una forma che rappresenti un doppio prodotto: $x^{2} + 2 \cdot x \cdot \frac{b}{2 a} = - \frac{c}{a}$ .]

5. (B) Perché $\frac{b}{a} x$ può essere sostituita con $2 \cdot x \cdot \frac{b}{2 a}$ ?

[Perché entrambe rappresentano il doppio prodotto dei fattori x e $\frac{b}{2 a}$ . È importante notare che $\frac{b}{a}$ è il doppio di $\frac{b}{2 a}$ (ce ne possiamo rendere conto facilmente con un esempio numerico: $\frac{1}{3}$ è il doppio di $\frac{1}{6}$ ). Facendo l’operazione di verso opposto, il doppio prodotto di x per $\frac{b}{2 a}$ è $2 \cdot x \cdot \frac{b}{2 a}$ , che, dopo aver compiuto le dovute semplificazioni, diventa $\frac{b}{a} x$ .]

6. (B) Che cosa bisogna mettere al posto dei puntini nell’equazione $x^{2} + 2 \cdot x \cdot \frac{b}{2 a} + \dots = \dots - \frac{c}{a}$ per completare il quadrato del binomio $x + \frac{b}{2 a}$ ?

[ ${(\frac{b}{2 a})}^{2}$ ; quindi otteniamo $x^{2} + 2 \cdot x \cdot \frac{b}{2 a} + {(\frac{b}{2 a})}^{2} = {(\frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{c}{a}$ . Il termine ${(\frac{b}{2 a})}^{2}$ va aggiunto anche al secondo membro dell’equazione per il primo principio di equivalenza che afferma che, se si aggiunge (o si sottrae) uno stesso numero ai due membri dell’equazione si ottiene un’equazione equivalente a quella data.]

7. (B) Una volta che abbiamo ottenuto l’equazione $x^{2} + 2 \cdot x \cdot \frac{b}{2 a} + {(\frac{b}{2 a})}^{2} = {(\frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{c}{a}$ , che cosa bisogna fare?

[Al primo membro riconoscere il quadrato di un binomio; al secondo membro, ridurre i due termini a denominatore comune: ${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{c}{a} \to {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}$ .]

8. (A) Una volta che l’equazione $a x^{2} + b x + c = 0$ è stata trasformata nell’equazione equivalente ${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}$ , quali diversi casi possono presentarsi? [

Che $b^{2} - 4 a c$ sia positivo: $b^{2} - 4 a c > 0$ ;
che $b^{2} - 4 a c$ sia uguale a zero: $b^{2} - 4 a c = 0$ ;
che $b^{2} - 4 a c$ sia negativo: $b^{2} - 4 a c < 0$ .]

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