9.9 INTERPRETAZIONE GRAFICA DI ALCUNI SISTEMI SIMMETRICI

1. (A) Che cosa rappresenta graficamente il seguente sistema simmetrico di secondo grado $\{\begin{array}{c}x+y=s\\ xy=p\end{array}$ con p ≠ 0?

[Le intersezioni di una retta con un’iperbole equilatera.]

2. (B) Osservando il sistema simmetrico $\{\begin{array}{c}x+y=s\\ xy=p\end{array}$ con p ≠ 0, come si fa a capire che graficamente rappresenta le intersezioni di una retta con un’iperbole equilatera?

[Se riscriviamo la prima equazione così y = −x + s, capiamo che si tratta di una retta parallela alla retta y = −x, cioè alla bisettrice del II e IV quadrante (hanno lo stesso coefficiente angolare); come abbiamo visto sopra, xy = p è l’equazione di un’iperbole equilatera.]

3. (B) Dato il sistema simmetrico $\{\begin{array}{c}x+y=1\\ xy=-2\end{array}$, quali sono le coordinate dei punti in cui la retta e l’iperbole equilatera si intersecano?

[(−1; 2) e (2; −1) (scambiando tra loro le coordinate di un punto si ottiene infatti l’altro punto). Ecco i passaggi: isoliamo la y nella seconda equazione: $y=\frac{-2}{x}$. Poi sostituiamo questo valore nella prima equazione e risolviamo l’equazione ad una incognita che abbiamo ottenuto:

$$x+\frac{-2}{x}=1\to x(x+\frac{-2}{x})=1x\to x^2-2=x\to x^2-x-2=0$$

$$\Delta ={(-1)}^2-4\left(1\right)(-2)=1+8=9$$

$$x=\frac{-(-1)\pm \sqrt{9}}{2\cdot 1}\to x=\frac{+1\pm 3}{2}\to x_1=\frac{-2}{2}=-1e{x}_2=\frac{4}{2}=2$$

Quindi ricaviamo i valori dell’ordinata corrispondente all’ascissa x₁ = −1: −1 + y = 1 → y = 1 + 1 → y₁ = 2 e l’ordinata corrispondente all’ascissa x₂ = 2: 2 + y = 1 → y = 1 − 2 → y₂ = −1. È da notare che i due punti sono simmetrici rispetto alla bisettrice del I e del III quadrante.]

4. (B) Quale dei seguenti sistemi di secondo grado è simmetrico $\{\begin{array}{c}y=a{x}^2+bx+c\\ a^{\prime }x+b^{\prime }y+c^{\prime }=0\end{array}$, $\{\begin{array}{c}y=mx+q\\ xy=k\end{array}$, $\{\begin{array}{c}{x}^2+y^2=r^2\\ x+y=s\end{array}$?

[ $\{\begin{array}{c}{x}^2+y^2=r^2\\ x+y=s\end{array}$, che, come abbiamo visto, graficamente rappresenta l’intersezione di una circonferenza con una retta. Invece il sistema $\{\begin{array}{c}y=mx+q\\ xy=k\end{array}$, che rappresenta l’intersezione di un’iperbole con una retta, è simmetrico solo in quei casi in cui è riducibile alla forma $\{\begin{array}{c}x+y=s\\ xy=p\end{array}$, quindi solo quando m = −1, perché in tal caso l’equazione della retta può essere riscritta nella forma x + y = q che coincide con la forma tipica dei sistemi simmetrici. Il primo dei tre sistemi è quello che rappresenta l’intersezione di una parabola con una retta e non è simmetrico.]