9.8 INTERSEZIONE DI UNA CIRCONFERENZA CON UNA RETTA

1. (A) Che cos’è una circonferenza centrata nell’origine?

[Una circonferenza che ha il suo centro nell’origine degli assi cartesiani O(0; 0) e il cui raggio r è rappresentato da un segmento $\overline{OP}$, dove P sta per un qualsiasi punto P(x; y) della circonferenza.]

2. (A) Qual è l’equazione che rappresenta una circonferenza centrata di raggio r tenendo conto che r corrisponde al segmento $\overline{OP}$ e P sta per un qualsiasi punto P(x; y) della circonferenza?

[$x^2+y^2=r^2$.]

3. (B) A partire da quale formula si ricava l’equazione di una circonferenza centrata nell’origine degli assi cartesiani O(0; 0) e il cui raggio r è rappresentato da un segmento $\overline{OP}$, dove P sta per un qualsiasi punto P(x; y) della circonferenza è $x^2+y^2=r^2$?

[A partire dalla formula $\overline{OP}=\sqrt{x^2+y^2}$ che è la formula della distanza tra due punti O e P: $\overline{OP}$ corrisponde a $\sqrt{x^2+y^2}=r$; elevando alla seconda i due membri di quest’ultima equazione si ottiene $x^2+y^2=r^2$. Dove i due membri dell’equazione iniziale sono stati elevati alla seconda.]

4. (A) Qual è il sistema che rappresenta l’intersezione di una circonferenza con una retta?

[Il seguente sistema di secondo grado $\{\begin{array}{c}{x}^2+y^2=r^2\\ x+y=s\end{array}$, dove la prima equazione rappresenta la circonferenza di raggio r e la seconda la retta s.]

5. (B) Che cosa rappresenta graficamente la seguente equazione $x^2+y^2=16$?

[Una circonferenza centrata di raggio 4.]

6. (B) Dati i seguenti sistemi di secondo grado $\{\begin{array}{c}{x}^2+y^2=16\\ y=4\end{array}$, $\{\begin{array}{c}{x}^2+y^2=16\\ y=6\end{array}$, $\{\begin{array}{c}{x}^2+y^2=16\\ y=x-4\end{array}$, quale rappresenta una retta secante una circonferenza in due punti, quale una retta tangente la stessa circonferenza, quale una retta esterna alla circonferenza?

[Il primo rappresenta una retta tangente, il secondo una retta esterna, il terzo una retta secante alla circonferenza in due punti. Risoluzione del sistema $\{\begin{array}{c}{x}^2+y^2=16\\ y=4\end{array}$:

$$x^2+4^2=16\to x^2+16=16\to x^2=16-16\to x^2=0\to x=0$$

quindi la retta y = 4 è tangente la circonferenza $x^2+y^2=16$ nel punto di coordinate (0; 4). Risoluzione del sistema $\{\begin{array}{c}{x}^2+y^2=16\\ y=6\end{array}$:

$$x^2+6^2=16\to x^2+36=16\to x^2=16-36\to x^2=-20$$

l’equazione è impossibile e quindi la retta non incontra la circonferenza in nessun punto. Risoluzione del sistema $\{\begin{array}{c}{x}^2+y^2=16\\ y=x-4\end{array}$:

$$x^2+{(x-4)}^2=16\to x^2+x^2-8x+16=16\to x^2+x^2-8x+16-16=0\to 2x^2-8x=0$$

quest’ultima è un’equazione spuria che ha come soluzioni: x₁ = 0 e $x_2=\frac{--8}{4}=\frac{8}{4}=4$. → x = 0. Il valore dell’ordinata corrispondente a x₁ = 0 è y₁ = −4 e si ottiene così y₁ = 0 − 4 = −4. Il valore dell’ordinata corrispondente a x₂ = 4 è y₂ = 0 e si ottiene così: y₂ = 4 − 4 = 0.]