9.7 INTERSEZIONE DI UN’IPERBOLE EQUILATERA CON UNA RETTA

1. (A) Che cos’è un’iperbole equilatera?

[È una conica che rappresenta una relazione di proporzionalità inversa. Le variabili x e y sono inversamente proporzionali e il loro prodotto è costante.]

2. (A) Com’è la forma generale di un sistema la cui interpretazione grafica è l’intersezione di una retta con una iperbole equilatera?

[$\{\begin{array}{c}y=mx+q\\ xy=k\end{array}$ con k ≠ 0.]

3. (B) Perché il sistema simmetrico di secondo grado $\{\begin{array}{c}y=mx+q\\ xy=k\end{array}$ con k ≠ 0 rappresenta l’intersezione di una retta con un’iperbole equilatera?

[Perché y = mx + q rappresenta una retta con coefficiente angolare m, e xy = k rappresenta un’iperbole equilatera, in cui x e y sono le due variabili inversamente proporzionali e k è il loro prodotto, che è costante.]

4. (A) Data un’equazione di tipo xy = k dove giace l’iperbole equilatera che essa rappresenta?

[Dipende da k: se k > 0 l’iperbole equilatera giace nel I e nel III quadrante, se k < 0 iperbole equilatera giace nel II e nel IV quadrante.]

5. (B) Qual è la soluzione del sistema $\{\begin{array}{c}y=3x+2\\ xy=4\end{array}$?

[(−4; −1) e (2; 2). Ecco come ci si arriva adottando il metodo del confronto:

$$\{\begin{array}{c}y=3x+2\\ xy=4\end{array}\to \{\begin{array}{c}y=3x+2\\ y=\frac{4}{x}\end{array}$$

$$\frac{4}{x}=\frac{1}{2}x+1\to x\cdot \frac{4}{x}=(\frac{1}{2}x+1)x\to 4=\frac{1}{2}{x}^2+x\to \frac{1}{2}{x}^2+x-4=0$$

$$\Delta =1^2-4\left(\frac{1}{2}\right)(-4)=1+8=9$$

$$x=\frac{-1\pm \sqrt{9}}{1\cdot \frac{1}{2}}\to x=\frac{-1\pm 3}{1}\to x=-1\pm 3\to x_1=-4e{x}_2=2$$

Ecco i passaggi per trovare i corrispondenti valori di y:

$y_1=\frac{1}{2}(-4)+1\to y_1=-2+1\to y_1=-1$; $y_2=\frac{1}{2}\left(2\right)+1\to y_2=1+1\to y_2=2$.]

6. (A) Dato il sistema $\{\begin{array}{c}y=3x+2\\ xy=4\end{array}$, che cosa rappresenta graficamente la sua soluzione?

[Le coordinate dei punti in cui la retta y = 3x + 2 interseca l’iperbole equilatero xy = 4.]