9.6 INTERSEZIONE DI UNA PARABOLA CON UNA RETTA

1. INTERPRETAZIONE GRAFICA DEI SISTEMI DI SECONDO GRADO

1. (A) Che cosa rappresenta nel piano cartesiano un sistema di secondo grado costituito da due equazioni in due incognite?

[L’equazione di primo grado rappresenta sempre una retta; l’equazione di secondo grado rappresenta una conica.]

2. (A) Che cosa sono le coniche?

[Sono i seguenti tipi di curve: parabola, iperbole, ellisse, circonferenza.]

2. INTERSEZIONE DI UNA PARABOLA CON UNA RETTA

3. (A) Qual è la forma generale di un sistema di secondo grado di due equazioni in due incognite che ha per rappresentazione grafica una parabola e una retta?

[$\{\begin{array}{c}y=a{x}^2+bx+c\\ a^{\prime }x+b^{\prime }y+c^{\prime }=0\end{array}$ con a, b, c, a’, b’, c’ numeri reali e a ≠ 0.]

4. (A) Che cosa rappresentano sul piano cartesiano le possibili soluzioni di un sistema di secondo grado di due equazioni in due incognite tipo $\{\begin{array}{c}y=a{x}^2+bx+c\\ a^{\prime }x+b^{\prime }y+c^{\prime }=0\end{array}$?

[I punti di intersezione di una retta, rappresentata dall’equazione di primo grado, con una parabola, rappresentata dall’equazione di secondo grado.]

5. (A) Quando una parabola e una retta sono secanti (cioè si tagliano) in due punti, quali soluzioni ha il sistema formato dalle loro equazioni?

[Il sistema ha due soluzioni distinte e perciò il discriminante dell’equazione risolvente di secondo grado è maggiore di zero: Δ > 0.]

6. (A) Quando una parabola e una retta sono tangenti, e quindi hanno un solo punto di intersezione, quali soluzioni ha il sistema formato dalle loro equazioni?

[Il sistema ha due coppie di soluzioni tra loro coincidenti e perciò il discriminante dell’equazione risolvente di secondo grado è uguale a zero: Δ = 0.]

7. (A) Quando una retta è esterna a una parabola, cioè la parabola e la retta non hanno punti di intersezione, quali soluzioni ha il sistema formato dalle loro equazioni?

[Il sistema è impossibile e perciò il discriminante dell’equazione risolvente di secondo grado è minore di zero: Δ < 0.]

8. (A) Immaginiamo una parabola e una retta parallela all’asse y e all’asse della parabola, le due figure si incontrano?

[Sì, in un unico punto.]

9. (B) Com’è detta una retta parallela all’asse della parabola e che quindi incontra la parabola in un solo punto?

[Secante. È lo stesso termine che si usa per riferirsi a una retta che incontra una parabola in due punti di intersezione; solo che in questo caso la retta è secante la parabola in un solo punto.]

10. (A) Quali soluzioni ha un sistema formato dall’equazione di una parabola e dall’equazione di una retta parallela all’asse della parabola?

[Ha una soluzione singola (attenzione: non due soluzioni coincidenti come nel caso della retta tangente alla parabola).]

11. (A) Com’è il sistema composto dall’equazione di una retta secante una parabola in un punto e dall’equazione della parabola stessa?

[$\{\begin{array}{c}y=a{x}^2+bx+c\\ x=h\end{array}$.]

3. ESEMPIO

12. (B) Che cosa rappresentano le equazioni del sistema $\{\begin{array}{c}y=\frac{1}{2}{x}^2-x-4\\ y=x+2\end{array}$?

[La prima è l’equazione di una parabola, la seconda è l’equazione di una retta.]

13. (B) Come si procede per sapere se e come la parabola e la retta del seguente sistema $\{\begin{array}{c}y=\frac{1}{2}{x}^2-x-4\\ y=x+2\end{array}$ si intersecano?

[Ricaviamo l’equazione risolvente $\frac{1}{2}{x}^2-2x-6=0$. Vediamo i passaggi adottando il metodo del confronto: $\frac{1}{2}{x}^2-x-4=x+2\to \frac{1}{2}{x}^2-x-4-x-2=0\to \frac{1}{2}{x}^2-2x-6=0$.]

14. (B) Quali sono le radici dell’equazione risolvente $\frac{1}{2}{x}^2-2x-6=0$?

[x₁ = −2 e x₂ = 6. Ecco i passaggi: $\Delta ={(-2)}^2-4\left(\frac{1}{2}\right)(-6)=4+12=16$. Applichiamo la formula risolutiva: $x=\frac{-(-2)\pm \sqrt{16}}{2\cdot \frac{1}{2}}=\frac{2\pm 4}{1}=2\pm 4=x_1=-2$ e x₂ = 6.]

15. (B) Che cosa rappresentano le due soluzioni x₁ = −2 e x₂ = 6 dell’equazione risolvente $\frac{1}{2}{x}^2-2x-6=0$?

[Rappresentano le ascisse dei due punti in cui la retta e la parabola del sistema che stiamo considerando si intersecano. Se la soluzione fosse stata una sola, essa avrebbe rappresentato l’ascissa dell’unico punto in cui retta e parabola si incontrano; se invece l’equazione risolvente non avesse avuto alcuna soluzione, ciò avrebbe significato che la retta e la parabola non si incontrano in alcun punto.]

16. (B) Una volta ottenuti i valori delle ascisse (x₁ = −2 e x₂ = 6) dei due punti in cui la parabola e la retta del nostro sistema si incontrano, come si fa a ricavare i valori delle ordinate?

[Per ottenere l’ordinata del punto di ascissa x₁ = −2 si sostituisce −2 alla x nell’equazione y = x + 2 e si risolve (si ottiene y = 0); per ottenere l’ordinata del punto di ascissa x₂ = 6 si sostituisce 6 alla x nell’equazione y = x + 2 e si risolve (si ottiene y = 8). Quindi i punti di intersezione tra la retta e la parabola del nostro sistema hanno coordinate (−2; 0) e (6; 8).]