9.5 SISTEMI SIMMETRICI

1. DEFINIZIONE DI SISTEMA SIMMETRICO

1. (A) Che cos’è un sistema simmetrico di due equazioni in due incognite?

[È un sistema che non cambia se si scambiano tra loro le incognite. Esempio: ${\begin{matrix} x + y = 5 \\ x y = 6 \end{matrix}$ è simmetrico perché se mettiamo la x al posto della y e viceversa otteniamo un sistema identico: ${\begin{matrix} y + x = 5 \\ y x = 6 \end{matrix}$ .]

2. (B) Quali di questi sistemi sono simmetrici: ${\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = 13 \\ x y + x + y = 11 \end{matrix}$ e ${\begin{matrix} x - y = 5 \\ x y = 14 \end{matrix}$ ?

[Il primo soltanto; si tratta di un sistema di quarto grado che è verificato sia nel caso in cui x = 2 e y = 3, sia nel caso in cui x = 3 e y = 2. Infatti il primo sistema è identico al sistema ${\begin{matrix} y^{2} + x^{2} = 13 \\ y x + y + x = 11 \end{matrix}$ . Invece ${\begin{matrix} x - y = 5 \\ x y = 14 \end{matrix}$ non è identico a ${\begin{matrix} y - x = 5 \\ y x = 14 \end{matrix}$ .]

3. (A) Se la soluzione di un sistema è la coppia (a; b) qual è la soluzione simmetrica ad essa?

[La coppia (b; a).]

2. SISTEMI SIMMETRICI DI SECONDO GRADO

4. (A) Qual è la forma canonica di un sistema simmetrico di secondo grado?

[ ${\begin{matrix} x + y = s \\ x y = p \end{matrix}$ con s e p numeri reali e p ≠ 0 ed s che sta per “somma” e p per “prodotto”. Attenzione: esistono anche altri tipi di sistemi simmetrici di secondo grado.]

5. (A) C’è un modo più rapido del metodo di sostituzione per risolvere un sistema simmetrico del tipo ${\begin{matrix} x + y = s \\ x y = p \end{matrix}$ ?

[Sì,

risolvere l’equazione di secondo grado t² − st + p = 0, in cui t è l’incognita da trovare ed è detta variabile ausiliaria;
se le soluzioni dell’equazione t² − st + p = 0 sono t₁ e t₂, le soluzioni del sistema sono (t₁; t₂) e (t₂; t₁).]

6. (B) Qual è l’equazione del tipo t² − st + p = 0 che bisogna risolvere per trovare le radici del sistema simmetrico ${\begin{matrix} x + y = 6 \\ x y = 5 \end{matrix}$ ?

[L’equazione t² − 6t + 5 = 0.]

7. (B) Qual è la soluzione dell’equazione t² − 6t + 5 = 0?

[t₁ = 1 e t₂ = 5. Ecco i passaggi: troviamo il discriminante: $\frac{Δ}{4} = {(\frac{- 6}{2})}^{2} - (1) (5) = 9 - 5 = 4$ . Applichiamo la formula risolutiva ridotta: $x = \frac{- (\frac{- 6}{2}) \pm \sqrt{4}}{1} = 3 \pm 2 = t_{1} = 3 - 2 = 1$ e t₂ = 3 + 2 = 5.]

8. (B) Qual è la soluzione del sistema ${\begin{matrix} x + y = 6 \\ x y = 5 \end{matrix}$ sapendo che le soluzioni di t² − 6t + 5 = 0 sono t₁ = 1 e t₂ = 5?

[Le coppie (1; 5) e (5; 1).]

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