9.4 SISTEMI DI SECONDO GRADO CON TRE EQUAZIONI IN TRE INCOGNITE

1. IN GENERALE

1. (A) Quand’è che un sistema di tre equazioni in tre incognite è di secondo grado?

[Quando una sola delle equazioni è di secondo grado e le altre due sono di primo grado. Esempio: $\{\begin{array}{c}x+y=3\\ x^2+2y+z=-2\\ 3x-y-1=z\end{array}$.]

2. (A) Come sono le soluzioni di un sistema di tre equazioni, di tre incognite, di secondo grado?

[Sono terne ordinate. Se le incognite sono x, y, z, il primo numero della terna sta per x, il secondo sta per y, il terzo sta per z.]

3. (A) Come si risolve solitamente un sistema di tre equazioni in tre incognite di secondo grado?

[Con il metodo di sostituzione: dalle equazioni di primo grado si ricavano due incognite in funzione della terza, poi si sostituiscono le loro espressioni nell’equazione di secondo grado ottenendo l’equazione risolvente.]

2. ESEMPIO

4. (B) Qual è il primo passo per risolvere il seguente sistema di tre equazioni di secondo grado in tre incognite: $\{\begin{array}{c}3x^2-2y+z=-5-4x\\ x+y-z=6\\ -2x+z=0\end{array}$?

[Ricaviamo z in funzione di x dalla terza equazione e sostituiamo l’espressione così ottenuta nelle altre equazioni: z = +2x → $\{\begin{array}{c}3x^2-2y+2x=-5-4x\\ x+y-2x=6\\ z=+2x\end{array}$.]

5. (B) Una volta sostituita l’incognita z con l’espressione 2x in tutte le equazioni del sistema, come possiamo procedere?

[Possiamo ricavare y in funzione di x nella seconda equazione e sostituire l’espressione così ottenuta nelle altre due equazioni: x + y −2x = 6 → y −x = 6 → y = 6 + x → $\{\begin{array}{c}3x^2-2(6+x)+2x=-5-4x\\ y=6+x\\ z=+2x\end{array}$.]

6. (B) Una volta che nell’equazione di secondo grado abbiamo eliminato le incognite z e y sostituendole con espressioni contenenti la x, che cosa dobbiamo fare?

[Poiché a questo punto l’equazione di secondo grado presenta una sola incognita (x), possiamo ridurla in forma normale, calcolare il discriminante e applicare la formula risolutiva. Vediamo in concreto i passaggi:

3x² −2(6 + x) +2x = −5 −4x → 3x² −12 −2x +2x = −5 −4x →

3x² −12 −2x +2x +5 +4x = 0 → 3x² +4x −7 = 0 →

$\frac{\Delta }{4}={\left(\frac{4}{2}\right)}^2-\left(3\right)(-7)={\left(\frac{2}{1}\right)}^2+21=4+21=25$

$x=\frac{-\frac{4}{2}\pm \sqrt{25}}{3}\to x=\frac{-2\pm 5}{3}\to x_1=\frac{-2-5}{3}=\frac{-7}{3};x_2=\frac{-2+5}{3}=\frac{3}{3}=1$.]

7. (B) Una volta che abbiamo trovato i valori di x ($x_1=\frac{-7}{3}$ e x₂ = 1), che cosa dobbiamo fare?

[Determinare i valori di y e z corrispondenti ai valori di x, sostituendo questi ultimi nelle equazioni y = 6 + x e z = 2x. Abbiamo quindi:

$$\{\begin{array}{c}x=\frac{-7}{3}\\ y=6+x=6-\frac{7}{3}=\frac{18-7}{3}=\frac{11}{3}\\ z=+2x=2·\left(\frac{-7}{3}\right)=\frac{-14}{3}\end{array}$$

$$\{\begin{array}{c}x=1\\ y=6+1=7\\ z=+2x=2\end{array}$$.]

8. (B) In definitiva, quali sono le soluzioni del sistema in esame?

[Sono le seguenti due terne: $(\frac{-7}{3},\frac{11}{3},\frac{-14}{3})$ e (1, 7, 2).]