9.3 SISTEMI DI SECONDO GRADO DETERMINATI, INDETERMINATI, IMPOSSIBILI

1. (A) Un sistema di secondo grado come può essere relativamente alle sue soluzioni? [

1. SISTEMA DETERMINATO A DOPPIA SOLUZIONE E A SOLUZIONE SEMPLICE

2. (A) Nel caso in cui un sistema di secondo grado sia determinato, quante soluzioni ha?

1.1 DOPPIA SOLUZIONE

3. (B) Quante e quali sono le soluzioni del seguente sistema di secondo grado: $\{\begin{array}{c}{x}^2+7=-2y\\ 3x+y=1\end{array}$?

[Una sola soluzione doppia, la coppia: (−3; 10). Qui di seguito riportiamo i passaggi della risoluzione. Risolviamo l’equazione di primo grado rispetto a y: y = 1 − 3x. Sostituiamo 1 − 3x a y nell’equazione di secondo grado e otteniamo l’equazione risolvente: $x^2+7=-2(1-3x)$. Risolviamo l’equazione risolvente:

$$x^2+7=-2(1-3x)$$

$$x^2+7=-2+6x$$

$$x^2+7+2-6x=0$$

$$x^2-6x+9=0$$

$$\frac{\Delta }{4}={\left(\frac{-6}{2}\right)}^2-9={(-3)}^2-9=9-9=0$$

$x=\frac{\frac{-6}{2}\pm \sqrt{0}}{1}=-3\pm 0\to x_1=-3x_2=-3$. Sostituiamo −3 alla x nell’equazione di primo grado 3x + y = 1:

3(−3) + y = 1

−9 + y = 1

y = 1 + 9 → y = 10. In conclusione, abbiamo ottenuto la soluzione (−3; 10), ovvero il punto di ascissa −3 e ordinata 10: $\{\begin{array}{c}{x}_1=x_2=-3\\ y_1=y_2=10\end{array}$.]

1.2 SOLUZIONE SEMPLICE

4. (B) Quante e quali sono le soluzioni del seguente sistema di secondo grado: $\{\begin{array}{c}y=x^2\\ 3x+9=0\end{array}$?

[Una sola semplice, la coppia: (−3; 9). Infatti l’equazione risolvente è di primo grado e determinata. Vediamo i passaggi: per prima cosa risolviamo l’equazione di primo grado: 3x + 9 = 0 → 3x = −9 → $x=\frac{-9}{3}$ → x = −3. Poi sostituiamo −3 alla x nell’equazione di secondo grado: y = x² → y = (−3)² → y = 9. Quindi il sistema ha una sola x(x = −3) e una sola y (y = 9).]

2. SISTEMA INDETERMINATO

5. (A) Quand’è che un sistema di secondo grado è indeterminato?

[Quando ha infinite soluzioni. Esempio: $\{\begin{array}{c}x-y=2\\ 2x+2y+y^2=x^2\end{array}$.]

6. (B) Perché il sistema $\{\begin{array}{c}x-y=2\\ 2x+2y+y^2=x^2\end{array}$ è indeterminato?

[Perché tutte le coppie di numeri reali (2 + h; h) che soddisfano l’equazione di primo grado e, quindi, anche quella di secondo grado sono soluzioni del sistema e tali coppie sono infinite (esempi: (5; 3); (7; 5); (12; 10)…). Vediamo come si svolge il tentativo di risolvere questo sistema. Risolviamo l’equazione di primo grado x − y = 2 rispetto a x: x = 2 + y. Sostituiamo 2 + y alla x nell’equazione di secondo grado:

2(2 + y) + 2y + y² = (2 + y)²

4 + 2y + 2y + y² = 4 + 4y + y²

4 + 4y + y² = 4 + 4y + y²

4 + 4y + y² = 4 + 4y + y², che, facendo le dovute semplificazioni, diventa 0 = 0.]

3. SISTEMA IMPOSSIBILE

7. (A) Quand’è che un sistema di secondo grado è impossibile?

[Quando non ha soluzioni.]

8. (A) Quand’è che un sistema di secondo grado non ha soluzioni e quindi è impossibile?

[Quando una delle equazioni componenti o l’equazione risolvente è impossibile. Esempio 1: $\{\begin{array}{c}{x}^2=-5\\ 3x+y=1\end{array}$. Esempio 2: $\{\begin{array}{c}{x}^2+8=-2y\\ 3x+y=1\end{array}$.]

9. (B) Perché il sistema di secondo grado $\{\begin{array}{c}{x}^2=-5\\ 3x+y=1\end{array}$ è impossibile?

[Perché la prima equazione è impossibile, in quanto nessun numero reale x elevato alla seconda può essere equivalente a un numero negativo (−5).]

10. (B) Perché il sistema di secondo grado $\{\begin{array}{c}{x}^2+8=-2y\\ 3x+y=1\end{array}$ è impossibile?

[Perché l’equazione risolvente è impossibile in quanto ha discriminante negativo (−1). Per arrivare all’equazione risolvente dobbiamo prima risolvere l’equazione di primo grado rispetto a y: y = 1 − 3x; e sostituire 1 − 3x a y nell’equazione di secondo grado. Ecco i passaggi per arrivare al discriminante dell’equazione risolvente:

x² + 8 = −2(1 − 3x)

x² + 8 = −2 + 6x

x² + 8 + 2 − 6x = 0

x² − 6x + 10 = 0

$\frac{\Delta }{4}={\left(\frac{-6}{2}\right)}^2-1·10={(-3)}^2-10=9-10=-1$.]

11. (C) Quando l’equazione risolvente di un sistema è impossibile è necessariamente impossibile anche almeno una delle equazioni componenti del sistema?

[No, perché può verificarsi che entrambe le equazioni abbiano soluzioni ma che non hanno punti in comune. Esempio: $\{\begin{array}{c}y=x^2+1\\ y=-5\end{array}$. Sostituendo la seconda equazione nella prima, abbiamo $x^2=-6$ che è impossibile, ma entrambe le equazioni sono singolarmente risolvibili.]