9.2 ESEMPIO DI RISOLUZIONE DI SISTEMA DI SECONDO GRADO IN DUE INCOGNITE

1. (B) Quale metodo si utilizza di solito per risolvere un’equazione di secondo grado in due incognite x e y?

[Il metodo della sostituzione, ma in alcuni casi anche il metodo della riduzione e il metodo del confronto.]

2. (A) Quali sono i passi per risolvere un sistema di secondo grado in due incognite con il metodo della sostituzione (ipotizzando che le equazioni componenti siano già ridotte in forma normale)? [

Risolvere l’equazione di primo grado rispetto alla x (o alla y; conviene scegliere l’incognita che rende i calcoli più semplici);
sostituire l’espressione trovata alla x (o alla y) nell’equazione di secondo grado (in questo modo otteniamo un’equazione che ha una sola incognita: l’equazione risolvente);
risolvere l’equazione risolvente;
determinare le soluzioni del sistema.]

3. (B) Qual è il primo passo per risolvere il seguente sistema di secondo grado in due incognite ${\begin{matrix} x^{2} + 3 = - 2 y \\ 3 x + y = 1 \end{matrix}$ ?

[Risolviamo l’equazione di primo grado rispetto a y e otteniamo: y = 1 − 3x. Attenzione: potevamo scegliere di risolvere l’equazione di primo grado rispetto a x, avremmo ottenuto $x = \frac{1 - y}{3}$ , ma i calcoli sarebbero stati più difficili.]

4. (B) Una volta risolta l’equazione di primo grado rispetto a y, qual è il passo da compiere per risolvere il sistema in esame?

[Sostituiamo 1 − 3x a y nell’equazione di secondo grado e otteniamo l’equazione risolvente: $x^{2} + 3 = - 2 (1 - 3 x)$ .]

5. (B) Una volta ottenuta l’equazione risolvente $x^{2} + 3 = - 2 (1 - 3 x)$ , qual è il passo successivo da compiere?

[Risolvere l’equazione risolvente; otteniamo $x_{1} = - 1$ e $x_{2} = - 5$ . Ecco come viene risolta l’equazione risolvente:
$x^{2} + 3 = - 2 (1 - 3 x) \to x^{2} + 3 = - 2 + 6 x \to x^{2} + 3 + 2 - 6 x = 0 \to x^{2} - 6 x + 5 = 0$
$\to \frac{Δ}{4} = {(\frac{- 6}{2})}^{2} - 1 \cdot 5 = {(- 3)}^{2} - 5 = 9 - 5 = 4$
$\to x = \frac{\frac{- 6}{2} \pm \sqrt{4}}{1} = x = - 3 \pm 2 \to x_{1} = - 1; x_{2} = - 5$ .]

6. (B) Una volta che abbiamo ottenuto $x_{1} = - 1$ e $x_{2} = - 5$ , come bisogna procedere nella risoluzione del sistema in esame?

[Dobbiamo sostituire prima $x_{1} = - 1$ , poi $x_{2} = - 5$ alla x nell’equazione di primo grado $3 x + y = 1$ , per ottenere i rispettivi valori delle y (potremmo sostituire le due espressioni alle x dell’equazione di secondo grado e otterremmo gli stessi risultati). Cominciamo con il sostituire −1 alla x in $3 x + y = 1$ : $3 (- 1) + y = 1 \to - 3 + y = 1 \to y = 1 + 3 \to y = 4$ . Poi ancora in $3 x + y = 1$ sostituiamo −5 alla x: $3 (- 5) + y = 1 \to - 15 + y = 1 \to y = 1 + 15 \to y = 16$ .]

7. (B) In conclusione, quante e quali sono le soluzioni del sistema preso in esame?

[Le soluzioni sono due soluzioni distinte: (−1; 4) e (−5; 16). L’insieme delle soluzioni in simboli è: $S = {(- 1; 4); (- 5; 16)}$ .]

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