2.1 NUMERI INTERI E NUMERI RAZIONALI

1. (A) Nell’insieme $\mathbb{N}$ dei numeri naturali è sempre possibile eseguire tutte e quattro le operazioni fondamentali (addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione)?

[No, è sempre possibile eseguire l’addizione e la moltiplicazione, ma non sempre la sottrazione e la divisione. Esempio: 3 − 5 = −2 che non è un numero naturale.]

1. NUMERI INTERI

2. (A) Quali sono i numeri interi relativi?

[Quelli con segno + o − davanti, senza la virgola e non in forma di frazione. Il segno + può essere omesso.]

3. (A) Qual è il simbolo dell’insieme dei numeri interi relativi?

[$\mathbb{Z}$.]

4. (B) Quali dei seguenti numeri sono interi relativi: 5; −4; $\frac{1}{2}$; $\frac{-2}{3}$; 3,96; +10; −0,6?

[5; −4; +10.]

5. (A) Quali operazioni sono interne all’insieme $\mathbb{Z}$ dei numeri interi relativi?

[L’addizione, la sottrazione e la moltiplicazione (non la divisione).]

6. (A) L’insieme $\mathbb{Z}$ dei numeri interi relativi può essere considerato un ampliamento di quale altro insieme numerico?

[Un ampliamento dell’insieme $\mathbb{N}$ dei numeri naturali.]

7. (B) Perché l’insieme $\mathbb{Z}$ dei numeri interi relativi può essere considerato un ampliamento dell’insieme $\mathbb{N}$ dei numeri naturali?

[Perché contiene il sottoinsieme ${\mathbb{Z}}_0^{+}$ dei numeri interi non negativi che si può identificare con l’insieme $\mathbb{N}$ dei numeri naturali, cioè gli elementi di $\mathbb{N}$ sono in corrispondenza biunivoca con gli elementi di ${\mathbb{Z}}_0^{+}$ (ad ogni elemento di $\mathbb{N}$ corrisponde uno e un solo elemento di ${\mathbb{Z}}_0^{+}$ e viceversa).]

8. (A) In quale insieme numerico tutte e quattro le operazioni fondamentali (addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione) sono interne: naturali, interi relativi, interi non negativi, razionali?

[Nell’insieme dei numeri razionali. Ciò significa che il risultato di una delle quattro operazioni fondamentali tra numeri razionali è sempre un numero razionale. L’unica divisione che non è ammessa nell’insieme ℚ dei numeri razionali è la divisione per 0.]

2. NUMERI RAZIONALI

9. (A) Che cos’è un numero razionale?

[È un numero che può essere espresso in forma di frazione in cui sia il numeratore che il denominatore sono numeri interi relativi; anche i numeri interi relativi sono razionali, infatti anch’essi possono essere espressi in forma di frazione (esempio 1: 5 può essere espresso anche così: $\frac{5}{1}$; esempio 2: −2 può essere espresso anche così: $\frac{-2}{1}$). È bene precisare che i numeri razionali possono essere espressi anche in forma decimale finita o periodica (attenzione: non in forma decimale infinita non periodica), infatti essi possono essere scritti in forma di frazione; questo vale anche per i numeri interi relativi (esempio 1: 5 può essere espresso anche così 5,0; esempio 2: −2 può essere espresso anche così: −2,0). Esempi: $\frac{+1}{2}$; $\frac{-2}{3}$; +3,96; −0,6. Il segno + può essere omesso.]

10. (A) Qual è il simbolo dell’insieme dei numeri razionali?

[ℚ.]

11. (B) L’insieme ℚ dei numeri razionali può essere considerato un ampliamento dell’insieme $\mathbb{Z}$ dei numeri interi relativi?

[Sì, perché l’insieme ℚ contiene un sottoinsieme costituito dai numeri interi relativi che hanno come denominatore 1. Esempio 1: $\frac{+6}{1}$, che corrisponde a +6. Esempio 2: $\frac{-2}{1}$, che corrisponde a −2.]

12. (A) I numeri razionali scritti in forma decimale si presentano come numeri decimali finiti o come numeri decimali infiniti periodici o come numeri infiniti non periodici?

[O come numeri decimali finiti oppure come numeri decimali infiniti periodici. Esempi: 7,345 (numero decimale finito); $2,\overline{3}$ (cioè 2,33333…: 2 virgola infiniti 3, che è un numero infinito periodico). I numeri razionali scritti in forma decimale non si presentano mai come numeri infiniti non periodici.]

13. (A) L’estrazione di radice è un’operazione interna all’insieme ℚ dei numeri razionali?

[No, perché in molti casi le estrazioni di radici hanno come risultato numeri decimali infiniti non periodici che, in quanto tali, non sono numeri razionali; esempio: $\sqrt{2}$. Attenzione: non sempre le estrazioni di radici hanno come risultato dei numeri decimali infiniti non periodici: in alcuni casi le estrazioni di radici hanno come risultato dei numeri decimali finiti (esempio: $\sqrt{4}$) oppure infiniti periodici (esempio: $\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}=2,\overline{6}$) che, essendo razionali, appartengono all’insieme ℚ.]