2.2 NUMERI IRRAZIONALI E NUMERI REALI

(I temi di questo capitolo sono già stati in parte affrontati nella lezione “Radici e numeri irrazionali” di Aritmetica II)

1. NUMERI IRRAZIONALI

1. (A) Che cos’è un numero irrazionale?

[Un numero relativo che può essere rappresentato da un numero decimale infinito non periodico; cioè è un numero con il segno + o il segno − (relativo), con la virgola (decimale), seguito da infinite cifre decimali (infinito) che non si ripetono con regolarità (non periodico). Esempio: 34,7207238114… (all’ultima cifra, quella subito a sinistra dei puntini, ne seguono infinite altre, senza ripetersi con regolarità).]

2. (A) Qual è il simbolo dell’insieme dei numeri irrazionali?

[𝕀.]

3. (B) Che rapporto c’è tra numeri irrazionali e radici quadrate?

[Le radici quadrate di numeri naturali che non sono quadrati perfetti sono numeri irrazionali. Esempi: $\sqrt{2}$ = 1,4142…; $\sqrt{3}$ = 1,7320…; $\sqrt{5}$ = 2,2360…; $\sqrt{6}$ = 2,4494…; $\sqrt{7}$ = 2,645…; $\sqrt{8}$ = 2,8284…; $\sqrt{10}$ = 3,162… (i puntini di sospensione qui stanno a indicare che ci sono infinite cifre decimali non periodiche). Attenzione: non sono invece numeri irrazionali le radici quadrate di numeri naturali che sono quadrati perfetti, come per esempio $\sqrt{4}$ = 2; $\sqrt{9}$ = 3; $\sqrt{16}$ = 4;…]

4. (A) Che cos’è un quadrato perfetto?

[È il radicando di una radice esatta di un numero naturale. Esempio: 9 è il quadrato perfetto di 3: $\sqrt{9}$ = 3.]

5. (A) Che cos’è la radice esatta di un numero naturale?

[È il risultato dell’estrazione di radice di un numero naturale quando tale risultato è esso stesso un numero naturale. Esempio: 3 è la radice esatta di 9.]

6. (B) Esistono numeri irrazionali che non derivano da estrazioni di radici quadrate?

[Sì, per esempio π = 3,1415…, che rappresenta il rapporto tra le misure di una circonferenza e il suo diametro.]

7. (C) Come si fa a dimostrare che la radice di un numero naturale che non è un quadrato perfetto è un numero irrazionale?

[Bisogna dimostrare che non è un numero razionale, cioè che non è riportabile in forma di frazione.]

2. NUMERI REALI

8. (A) Che cos’è un numero reale?

[Ogni numero razionale o irrazionale. Esempi: 5; −2; $\frac{+4}{7}$; $\frac{-13}{5}$; +8,32; −14,5; $3,\overline{56}$; $-26,\overline{9}$; 13,82649028…; −4,4690132009…; $\sqrt{4}$; $\sqrt{\frac{1}{3}}$.]

9. (A) Con quale lettera si indica l’insieme dei numeri reali?

[Con la ℝ.]

10. (A) L’insieme ℝ dei numeri reali è discreto o denso?

[È denso, cioè tra due numeri reali ce n’è sempre un altro nel mezzo.]

11. (B) Quale altro insieme numerico è denso come lo è l’insieme ℝ dei numeri reali?

[L’insieme ℚ dei numeri razionali (tra due numeri razionali ce n’è sempre un altro nel mezzo); mentre sono discreti l’insieme ℕ dei numeri naturali e l’insieme ℤ dei numeri interi.]

12. (B) Se rappresentiamo i numeri razionali e i numeri reali su una retta ordinata, rimangono dei “posti vuoti”?

[Nel caso dei numeri razionali sì, nel caso dei numeri reali no. In altre parole, c’è una corrispondenza biunivoca tra i numeri reali e i punti di una retta: ad ogni numero reale corrisponde uno e un solo punto della retta; ad ogni punto della retta corrisponde uno e un solo numero reale. Nel caso dei numeri razionali, invece, ad ogni numero razionale corrisponde un punto della retta ma non è vero il contrario, non è vero cioè che ad ogni punto della retta corrisponde un numero razionale.]

13. (B) Come viene detto l’insieme ℝ dei numeri reali per la proprietà per cui ad ogni numero reale corrisponde un punto sulla retta e viceversa (corrispondenza biunivoca)?

[Completo.]