2.12 CALCOLO DI UN TERMINE GENERALE A_N DI UNA PROGRESSIONE GEOMETRICA

1. LA FORMULA

1. (A) Conoscendo il primo termine a₁ e la ragione q di una progressione geometrica, come possiamo conoscere l’ennesimo termine a_n di tale progressione?[

1. O attraverso un modello ricorsivo
2. o attraverso una formula che permette di calcolare direttamente a_n.]

2. (A) In che cosa consiste il modello ricorsivo che permette di calcolare il termine generale a_n di una progressione geometrica conoscendo il primo termine a₁ e la ragione q?

[Moltiplichiamo il primo termine (a₁) per q e otteniamo il secondo termine (a₂), poi moltiplichiamo il secondo termine (a₂) per q e otteniamo il terzo termine (a₃) e così via fino a che non moltiplichiamo il termine a_n−1 per q e otteniamo a_n. Esempio: vogliamo conoscere il quinto termine di una progressione geometrica sapendo che il primo termine è 5 e la ragione è 3:

1. a₁ = 5
2. a₂ = 5 · 3 = 15
3. a₃ = 15 · 3 = 45
4. a₄ = 45 · 3 = 135
5. a₅ = 135 · 3 = 405.]

3. (A) Qual è la formula (alternativa al modello ricorsivo) che permette di calcolare direttamente il termine generale a_n di una progressione geometrica conoscendo il primo termine a₁ e la ragione q di tale progressione?

[$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$. Esempio: vogliamo conoscere il quinto termine di una progressione geometrica sapendo che il primo termine è 5 e la ragione è 3: $a_5=5\cdot 3^4=5\cdot 81=405$.]

4. (B) Qual è il primo passo per dimostrare la formula $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$ che permette di calcolare il termine generale di una progressione geometrica conoscendo il primo termine a₁ e la ragione q?

[Poiché, per definizione, in una progressione geometrica ogni termine (a_n) si ottiene moltiplicando il precedente (a_n−1) per la ragione q, valgono le seguenti uguaglianze: $a_2=a_1\cdot q$, $a_3=a_2\cdot q$, $a_4=a_3\cdot q$, …, $a_n=a_{n-1}\cdot q$. Poiché il primo termine (a₁) è dato, il numero delle uguaglianze è n – 1.]

5. (B) Qual è il secondo passo per dimostrare la formula $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$?

[Moltiplicare membro a membro le n – 1 uguaglianze: $a_2\cdot a_3\cdot a_4\cdot \dots \cdot a_n=a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot \dots \cdot a_{n-1}\cdot q\cdot q\cdot \dots \cdot q$, specificando che il numero delle ragioni q al secondo membro è n – 1, perché n – 1 è il numero delle uguaglianze. Quindi al posto di q · q · … · q, sarebbe opportuno mettere il fattore $q^{n-1}$.]

6. (B) Qual è il terzo passo per dimostrare la formula $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$?

[Semplificare la moltiplicazione membro a membro delle n – 1 uguaglianze: a₂ · a₃ · a₄ · … · a_n = a₁ · a₂ · a₃ · … · a_n−1 · $q^{n-1}$. Quello che rimane è l’uguaglianza che volevamo dimostrare: $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$.]

2. ESEMPI DI APPLICAZIONE DELLA FORMULA $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$

7. (C) Qual è il nono termine della progressione geometrica di ragione 2 che ha come primo termine 7?

[1792. Per arrivare a tale risultato applichiamo la formula $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$ e facciamo le dovute sostituzioni e operazioni:

$a_9=7\cdot 2^{9-1}$

$a_9=7\cdot 2^8$

$a_9=7\cdot 256$

$a_9=1792$.]

8. (C) Qual è il primo termine della progressione geometrica di ragione 5 che ha come sesto termine 12500?

[4. Per arrivare a tale risultato applichiamo la formula $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$ e facciamo le dovute sostituzioni e operazioni:

$a_6=a_1\cdot q^{6-1}$

$12500=a_1\cdot 5^5$

$12500=a_1\cdot 3125$

$a_1=\frac{12500}{3125}$

$a_1=4$.

La progressione è: 4, 20, 100, 500, 2500, 12500.]

9. (C) Qual è la ragione q della progressione geometrica che ha come primo termine 6 e come quinto termine 486?

[±3. Per arrivare a tale risultato applichiamo la formula $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$ e facciamo le dovute sostituzioni e operazioni:

$a_5=a_1\cdot q^{5-1}$

$486=6\cdot q^4$

$q^4=\frac{486}{6}$

$q^4=81$

$q^4=81$

$q=\pm 3$.

Se la ragione della progressione geometrica in esame è +3, la progressione è: 6, 18, 54, 162, 486; se la ragione della progressione geometrica in esame è –3, la progressione è: 6, –18, 54, –162, 486.]