2.11 PROGRESSIONI GEOMETRICHE

1. (A) Che cos’è una progressione geometrica?

[È una successione di numeri tali che il rapporto tra un termine (a partire dal secondo) e il suo precedente è costante. Esempio: 2, 4, 8, 16, 32… è una progressione geometrica perché il rapporto tra 4 e il suo precedente (2) è 2, il rapporto tra 8 e il suo precedente (4) è 2, il rapporto tra 16 e il suo precedente (8) è 2; il rapporto tra 32 e il suo precedente (16) è 2… In breve: $\frac{4}{2}=\frac{8}{4}=\frac{16}{8}=\frac{32}{16}=2$.]

2. (A) Qual è la ragione di una progressione geometrica?

[È il rapporto costante che c’è tra un qualsiasi termine della progressione e il suo precedente. Esempio: se la progressione geometrica è 2, 4, 8, 16, 32… la sua ragione è 2.]

3. (B) Qual è la ragione della seguente progressione geometrica: 2, 6, 18, 54…?

[3. Infatti dividendo ciascun termine per il suo precedente otteniamo sempre 3: $\frac{6}{2}=\frac{18}{6}=\frac{54}{18}=3$.]

4. (B) Con quale lettera si indica di solito la ragione di una progressione geometrica?

[Con q.]

5. (B) La ragione di una progressione geometrica è maggiore, minore o uguale a zero?

[Può essere maggiore oppure minore di zero, ma mai uguale a zero.]

6. (B) I termini di una progressione geometrica sono maggiori, minori o uguali a zero?

[Possono essere maggiori oppure minori di zero, ma mai uguali a zero. Infatti, se un termine di una progressione geometrica fosse uguale a zero, esso come denominatore di una frazione in cui al numeratore sta il suo successore renderebbe tale frazione priva di significato, invece tale frazione deve avere come risultato la ragione della progressione.]

7. (A) Come si ottiene il termine (a_n) di una progressione geometrica, conoscendo il termine ad esso precedente (a_n−1), il termine ad esso successivo (a_n+1) e la ragione della progressione (q)?[

1. Si può ottenere o moltiplicando il precedente per q: $a_n=q\cdot a_{n-1}$
2. oppure dividendo il successivo per q: $a_n=\frac{a_n+1}{q}$.

Si può anche definire una progressione geometrica come una sequenza di numeri tali che ogni termine è il prodotto del suo precedente per un numero costante. Esempio: data la progressione geometrica 2, 4, 8, 16, 32… di ragione 2, il termine 8 si ottiene così: $8=2\cdot 4$ oppure così: $8==\frac{16}{2}$.]

8. (B) Che segno hanno i termini di una progressione geometrica se la ragione della progressione è un numero positivo (q > 0)?

[Hanno tutti lo stesso segno: o sono tutti positivi o sono tutti negativi. Esempi: se la ragione della progressione è 3 e il primo termine della progressione è 2, abbiamo 2, 6, 18, 54…; se invece il primo termine è –2, abbiamo: –2, –6, –18, –54…]

9. (B) Che segno hanno i termini di una progressione geometrica se la ragione della progressione è un numero negativo (q < 0)?

[Hanno segno alternato. Esempi: se la ragione della progressione è –3, possiamo avere 9, –27, 81, –243…, oppure, se il primo termine è negativo, abbiamo: –9, 27, –81, 243…]

10. (C) Una progressione geometrica con ragione negativa (q < 0) può essere monotona?

[No, una progressione geometrica con ragione negativa non è monotona. Infatti, se q < 0, come abbiamo visto, i termini hanno segno alternato e quindi la progressione non può essere né crescente né decrescente.]

11. (B) Quand’è che una progressione geometrica è crescente?[

1. Quando q > 1 e i termini sono tutti positivi (esempio: q = 2; termini: 2, 4, 8, 16…)
2. oppure quando q è maggiore di 0 e minore di 1 (0 < q < 1) e i termini sono tutti negativi (esempio: q = $\frac{1}{2}$; termini: –2, –1, $-\frac{1}{2}$, $-\frac{1}{4}$, …).]

12. (B) Quand’è che una progressione geometrica è decrescente?[

1. Quando q > 1 e i termini sono tutti negativi (esempio: q = 2; termini: –2, –4, –8, –16…)
2. oppure quando q è maggiore di 0 e minore di 1 (0 < q < 1) e i termini sono tutti positivi (esempio: q = $\frac{1}{2}$; termini: 1, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{8}$, …).]

13. (B) Quand’è che una progressione geometrica è costante?

[Quando q = 1.]