2.10 SOMME DI TERMINI DI UNA PROGRESSIONE ARITMETICA

1. SOMMA DI DUE TERMINI EQUIDISTANTI DAGLI ESTREMI

1. (B) Com’è la somma dei termini equidistanti dagli estremi in una progressione aritmetica limitata?

[È costante ed è uguale alla somma dei due termini estremi ($a_1+a_n$). Esempio: nella progressione aritmetica 10, 12, 14, 16, 18, 20, la somma dei termini 12 e 18, equidistanti dagli estremi (10 e 20) è 30, così come la somma dei termini 14 e 16, anch’essi equidistanti dagli estremi (14 + 16 = 30); ed è uguale alla somma degli estremi stessi: 10 + 20 = 30.]

2. SOMMA DI TERMINI CONSECUTIVI DI UNA PROGRESSIONE ARITMETICA

2. (B) Com’è la somma S_n dei primi n termini di una progressione aritmetica?

[È uguale al prodotto di n per la semi-somma dei due termini estremi a₁ e a_n, cioè per la loro media aritmetica. In simboli: $S_n=n\cdot \frac{a_1+a_n}{2}$.]

2. 1 DIMOSTRAZIONE

3. (C) Come si può dimostrare la formula $S_n=n\cdot \frac{a_1+a_n}{2}$ per la somma dei primi n termini di una progressione aritmetica?

[Si scrive la somma una volta nell’ordine normale e una volta nell’ordine inverso e poi si sommano membro a membro le due uguaglianze. In questo modo si sfrutta il fatto che la somma di due termini equidistanti dagli estremi è sempre $a_1+a_n$.]

4. (C) Che cosa si ottiene scrivendo la somma S_n nell’ordine normale e nell’ordine inverso e sommando membro a membro?

[$2S_n=n(a_1+a_n)$. Infatti, sommando membro a membro, ciascuna delle n coppie di termini equidistanti dagli estremi ha somma $a_1+a_n$.]

5. (C) Come si ricava da $2S_n=n(a_1+a_n)$ la formula della somma dei primi n termini di una progressione aritmetica?

[Dividendo entrambi i membri per 2 si ottiene $S_n=n\cdot \frac{a_1+a_n}{2}$. La somma dei primi n termini è quindi uguale al numero n dei termini moltiplicato per la semisomma degli estremi, cioè per la loro media aritmetica.]

2.2 ESEMPIO

6. (B) Applicando la formula appropriata, qual è la somma dei primi 11 termini della progressione aritmetica di primo termine 2 e di ragione 3?

[La formula appropriata è $S_n=n\cdot \frac{a_1+a_n}{2}$ e la somma è 187. Vediamo i passi che portano a tale risultato. I primi 11 termini di tale progressione aritmetica sono: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32. Quindi nella formula $S_n=n\cdot \frac{a_1+a_n}{2}$ sostituiamo n con 11, a₁ con 2, a_n con 32 e otteniamo: $S_{11}=11\cdot \frac{2+32}{2}$. Svolgiamo le operazioni di semplificazione:

$S_{11}=11\cdot \frac{2+32}{2}$

$S_{11}=11\cdot \frac{34}{2}$

$S_{11}=11\cdot 17$

$S_{11}=187$.]