2.2 RAPPRESENTAZIONI DI SUCCESSIONI

1. RAPPRESENTAZIONI NON GRAFICHE

1. (A) A parte la rappresentazione grafica, quanti e quali tipi di rappresentazioni può avere una successione?

1.1 RAPPRESENTAZIONE PER ELENCAZIONE (O ENUMERAZIONE)

2. (A) In che cosa consiste la rappresentazione per elencazione (o enumerazione) di una successione numerica?

[Consiste nel presentare la lista ordinata dei primi quattro o cinque termini della successione, seguiti da puntini di sospensione. Esempio: 1, 3, 5, 7… è la successione dei numeri dispari. Ovviamente non sarebbe possibile elencare tutti i termini di una successione, dato che, come abbiamo detto, i termini di una successione sono sempre infiniti anche quando la successione non è una funzione di tutti i numeri naturali ma solo di un loro sottoinsieme.]

1.2 RAPPRESENTAZIONE MEDIANTE UN’ESPRESSIONE ANALITICA

3. (A) In che cosa consiste la rappresentazione di una successione mediante un’espressione analitica?

[Consiste nell’indicare la legge generale della successione. Esempio: l’espressione analitica che indica la successione dei numeri dispari (che in precedenza abbiamo indicato per elencazione così: 1, 3, 5, 7…) è a_n = 2n + 1. Infatti, per qualsiasi numero naturale che sostituiamo ad n nella formula, otteniamo un numero dispari. Esempi: se a n sostituiamo 0 (a₀ = 2(0) + 1), otteniamo 1; se a n sostituiamo 1 (a₁ = 2(1) + 1), otteniamo 3; se a n sostituiamo 2 (a₂ = 2(2) + 1), otteniamo 5; se a n sostituiamo 3 (a₃ = 2(3) + 1), otteniamo 7;…]

1.3 RAPPRESENTAZIONE RICORSIVA O PER RICORSIONE

4. (A) In che cosa consiste la rappresentazione ricorsiva (o per ricorsione) di una successione?

[Consiste nel fornire il primo termine della successione (a₀) e una legge (una relazione) che indica come si fa a trovare il termine generale a_n in funzione di quello precedente (a_{n − 1}). Esempio: la rappresentazione ricorsiva della successione dei numeri dispari è la seguente: $\{\begin{array}{c}{a}_0=1\\ a_n=a_{n-1}+2\end{array}$, dove $a_{n-1}$ sta per il precedente di a_n. Il primo termine della successione è dato dalla prima equazione a₀ = 1. Il secondo termine si ottiene a partire dal primo (a₀ = 1), applicando la seconda equazione del sistema: a₁ = a₀ + 2 = 1 + 2 = 3. Il terzo termine si ottiene a partire dal secondo (a₁ = 3), applicando la seconda equazione del sistema: a₂ = a₁ + 2 = 3 + 2 = 5… Occorre precisare che qualche volta la rappresentazione ricorsiva fornisce non solo il primo termine di una successione ma anche altri primi termini della successione, per esempio, i primi due oltre alla formula generale in funzione dei precedenti.]

1.5 SUCCESSIONE DI FIBONACCI

5. (B) Una particolare successione numerica è la cosiddetta successione di Fibonacci; com’è la sua rappresentazione ricorsiva?

[$\{\begin{array}{c}{a}_0=0,a_1=1\\ a_n=a_{n-1}+a_{n-2}\text{se}n>1\end{array}$.]

6. (C) Quali sono i primi sei termini della successione di Fibonacci?

[0; 1; 1; 2; 3; 5… I primi due termini sono dati dalle prime due equazioni (a₀ = 0 e a₁ = 1). Il terzo termine (a₂ = 1) si ottiene così: a₂ = a₁ + a₀ = 1 + 0 = 1. Il quarto termine (a₃ = 2) si ottiene così: a₃ = a₂ + a₁ = 1 + 1 = 2. Il quinto termine (a₄ = 3) si ottiene così: a₄ = a₃ + a₂ = 2 + 1 = 3. Il sesto termine (a₅ = 5) si ottiene così: a₅ = a₄ + a₃ = 3 + 2 = 5.]

2. RAPPRESENTAZIONE GRAFICA

7. (A) Com’è la rappresentazione grafica di una successione?

[È un insieme discreto di punti, cioè un insieme di punti separati tra loro, a differenza del grafico continuo di una funzione. Infatti, nella rappresentazione grafica di una successione, sull’asse orizzontale n assume soltanto valori naturali, mentre nei grafici di una funzione reale di variabile reale x può assumere tutti i valori reali appartenenti al dominio. Perciò, mentre tra due punti consecutivi del grafico di una successione non vi sono altri punti del grafico, tra due punti di un tratto continuo del grafico di una funzione vi sono infiniti altri punti.]

8. (B) Come vengono indicati, rispettivamente, l’asse verticale e l’asse orizzontale in una rappresentazione grafica di una successione?

[L’asse verticale con a_n (non con y come l’asse delle ordinate nel grafico di una funzione), l’asse orizzontale con n (non con x come l’asse delle ascisse nel grafico di una funzione).]