2.5 RADICI ENNESIME

1. (A) Come si scrive la radice n–esima (leggi: ennesima) di a?

[ $\sqrt[n]{a}$ .]

2. (A) Che cos’è la radice n–esima di un numero reale a con indice n, dove n è un numero naturale diverso da 0? [

Se n è pari, tale radice è il numero reale positivo o nullo che, elevato a n, dà come risultato a (Esempio: $\sqrt[4]{81}$ = 3, infatti $3^{4}$ = 81);
se n è dispari, tale radice è il numero reale che, elevato a n, dà come risultato a (Esempio 1: $\sqrt[5]{32}$ = 2, infatti $2^{5}$ = 32; Esempio 2: $\sqrt[5]{- 32}$ = −2, infatti $- 2^{5}$ = −32).]

3. (A) Prendiamo la radice $\sqrt[n]{- a}$ , in cui n è pari, qual è il suo valore?

[Non esiste, perché non esiste un numero b che, elevato ad un numero naturale pari, dia come risultato un numero negativo (−a). Esempio: non esiste un valore per $\sqrt[4]{- 16}$ , perché nessun numero reale, elevato a 4, dà come risultato −16. Attenzione: sarebbe sbagliato dire che tale numero è −2, perché −2 elevato alla quarta fa 16, non −16.]

4. (A) Prendiamo una radice n–esima in ℝ, con n che è un numero naturale diverso da zero, quante radici ha in ℝ ogni numero reale a? [

Se n è pari e il numero reale non è negativo (cioè è positivo o è 0), ha esattamente una radice n–esima in ℝ (Esempio: $\sqrt[4]{81}$ = 3);
se n è pari e il numero reale è negativo, non ammette radice n–esima in ℝ (Esempio: $\sqrt[4]{- 81}$ non ammette radice);
se n è dispari, il numero reale (indipendentemente dal fatto se sia positivo, negativo o uguale a 0) ha esattamente una radice n–esima in ℝ (Esempi: $\sqrt[5]{32}$ = 2; $\sqrt[5]{- 32}$ = −2).]

5. (B) Qual è la radice di $\sqrt[6]{64}$ ?

[2, infatti $2^{6}$ = 64.]

6. (B) Qual è la radice di $\sqrt[6]{- 64}$ ?

[Non esiste perché nessun numero elevato a 6 dà come risultato −64 e, più in generale, non esiste alcuna radice con indice pari di numero negativo.]

7. (B) Qual è la radice di $\sqrt[7]{128}$ ?

[2, infatti $2^{7}$ = 128.]

8. (B) Qual è la radice di $\sqrt[7]{- 128}$ ?

[−2, infatti $- 2^{7}$ = −128. È da notare che, anche se il radicando è negativo, tale radice ha un risultato perché l’indice (7) è dispari.]

9. (B) Qual è la radice di $\sqrt[1]{a}$ ?

[a, infatti $a^{1}$ = a.]

10. (B) Qual è la radice di $\sqrt[n]{1}$ ?

[1, infatti $1^{n}$ = 1.]

11. (B) Qual è la radice di $\sqrt[n]{0}$ ?

[0, infatti $0^{n}$ = 0.]

12. (B) ${(\sqrt[n]{a})}^{n}$ = a è vera?

[Sì, sempre tranne nel caso in cui n è pari e a è negativo. Esempi: ${(\sqrt[5]{32})}^{5}$ = 32; ${(\sqrt[5]{- 32})}^{5}$ = −32; ${(\sqrt[4]{16})}^{4}$ = 16. Invece ${(\sqrt[4]{- 16})}^{4}$ non equivale a −16 e neppure a 16 perché la radice di indice pari di un numero negativo non esiste.]

13. (A) Se abbiamo una radice n–esima tipo $\sqrt[n]{- a}$ , il segno − può essere portato fuori dalla radice?

[Sì, ma solo se n è dispari. Esempio: $\sqrt[7]{- 128}$ = $- \sqrt[7]{128}$ .]

14. (A) Se abbiamo una radice n–esima preceduta dal segno −, tipo $- \sqrt[n]{a}$ , il segno − può essere portato dentro la radice?

[Sì, ma solo se n è dispari. Esempio: $- \sqrt[7]{128}$ = $\sqrt[7]{- 128}$ .]

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