2.6 RADICALI
1. DEFINIZIONI
1. (A) Che cos’è un radicale? [
- O un’espressione della forma dove a è un numero reale (Esempi: ; ; );
- oppure un’espressione dove a non è un numero reale ma un’espressione letterale come un polinomio o una frazione algebrica (; ; ).]
2. (A) Prendiamo il radicale , come è detto a?
[Radicando (o argomento) del radicale.]
3. (A) Prendiamo il radicale , come è detto n?
[Indice del radicale.]
4. (A) Che numero può essere l’indice n di un radicale?
[Qualsiasi numero naturale tranne zero: un’espressione tipo non ha nessun significato.]
5. (A) Prendiamo il radicale , come è detto m?
[Esponente del radicando.]
2. CONDIZIONI DI ESISTENZA DI UN RADICALE
6. (A) Che cosa significa determinare le condizioni di esistenza (o di realtà) di un radicale?
[Significa stabilire per quali valori della variabile presente nel radicale il radicale è definito. Esempio: se il radicale è , esso non è definito per x < 0, cioè non è definito nel caso in cui x sia un numero negativo, poiché, come abbiamo visto, quando l’indice è un numero pari (in questo caso, 4), il radicando non può essere un numero negativo. “Condizioni di esistenza” si può indicare con i simboli C.E.]
7. (A) Se è un radicale con l’indice n che è un numero naturale diverso da 0 e il radicando P(x) è un polinomio nella variabile x, quali sono le condizioni di esistenza di tale radicale? [
- Se n è un numero dispari, x può essere qualsiasi numero reale;
- se n è un numero pari, x deve avere un valore per cui P(x) ≥ 0, cioè x deve avere un valore per cui il radicando P(x) non deve essere un numero negativo. Esempio 1: le condizioni di esistenza (C.E.) di sono ∀ x ∈ ℝ (che si legge: per tutti gli x, x appartiene a ℝ, cioè all’insieme dei numeri reali). In altre parole, poiché l’indice del radicale è dispari (5), x può essere qualsiasi numero reale. Si può anche dire più semplicemente che non ha condizioni di esistenza. Esempio 2: studiamo le condizioni di esistenza (C.E.) di : poiché l’indice (6) è pari, il radicando x − 3 non deve essere negativo (x − 3 ≥ 0), quindi C.E.: x ≥ +3, cioè le condizioni di esistenza sono che x deve essere un numero reale maggiore o uguale a 3.]
8. (B) Quali sono le condizioni di esistenza del seguente radicale ?
[C.E.: x > 5. Infatti, trattandosi di una radice quadrata, essa ha indice pari (2, anche se è sottinteso), quindi il radicando non può essere un numero negativo, cioè può essere solo positivo o uguale a 0: ≥ 0. Ma poiché è impossibile dividere per 0, il divisore x − 5 deve essere maggiore di 0: x − 5 > 0. E, affinché x − 5 > 0, x deve essere maggiore di 5: x > 5.]
9. (B) Quali sono le condizioni di esistenza del seguente radicale ?
[C.E.: ∀ a ∈ ℝ (che si legge: per tutti gli a, a appartiene a ℝ, cioè all’insieme dei numeri reali); cioè il radicando può essere qualsiasi numero reale (positivo, negativo o nullo) perché l’indice del radicale è dispari.]
10. (B) Quali sono le condizioni di esistenza del seguente radicale ?
[C.E.: x ≠ 0 perché il denominatore non può mai essere nullo (uguale a zero); cioè il radicando può essere qualsiasi numero reale (positivo, negativo o nullo) perché l’indice del radicale è dispari.]
11. (A) Come si chiama l’insieme dei valori di x per cui un radicale è definito?
[Dominio o insieme di definizione o insieme di esistenza del radicale.]
3. IL SEGNO DI UN RADICALE
12. (A) Com’è il segno di un radicale di un’espressione letterale? [
- È positivo o nullo se l’indice del radicale è pari;
- è lo stesso segno del radicando se l’indice del radicale è dispari.]
13. (B) Qual è il segno del seguente radicale ? [
- È 0 (quindi non è né positivo né negativo) se x = −7
- è > 0 (cioè positivo) se x > −7.]
14. (B) Qual è il segno del seguente radicale ? [
- È 0 (quindi non è né positivo né negativo) se x = −7;
- è > 0 (cioè positivo) se x > −7;
- è < 0 (cioè negativo) se x < −7.]