2.7 MEDI ARITMETICI

1. (A) Dati due numeri a e b, che cosa sono i medi aritmetici di a e b?

[Sono i numeri che inseriti tra a e b costituiscono (insieme ad a e b) una progressione aritmetica. Esempio: Dati i numeri 2 e 10, i tre medi aritmetici che, inseriti tra 2 e 10, formano con essi una progressione aritmetica sono 4, 6, 8.]

2. (A) Dati due numeri a e b, qual è la formula che ci permette di inserire tra essi k numeri (a₁, a₂, … a_k) tali che la sequenza a, a₁, a₂, … a_k, b sia una progressione aritmetica?

[È la formula per la ragione d della progressione, ovvero: $d=\frac{b-a}{k+1}$. Una volta trovata la ragione d, per ottenere a₁, basta aggiungere d ad a; per ottenere a₂, basta aggiungere d ad a₁, e così via fino ad ottenere a_k. Esempio: dati i numeri 3 e 57, vogliamo inserire tra essi 5 numeri medi aritmetici, cioè tali che la loro sequenza (compresi gli estremi 3 e 57) sia una progressione aritmetica. Applichiamo la formula $d=\frac{b-a}{k+1}$ e troviamo la ragione di tale progressione: $d=\frac{57-3}{5+1}\to d=\frac{54}{6}\to d=9$. Quindi il successore di 3 sarà 12 (ovvero 3 + 9); il successore di 12 sarà 21 (ovvero 12 + 9); il successore di 21 sarà 30 (ovvero 21 + 9); il successore di 30 sarà 39 (ovvero 30 + 9); il successore di 39 sarà 48 (ovvero 39 + 9) e, infine, il successore di 48 è 57, che è il già noto ultimo numero della serie.]

3. (B) Perché la formula per conoscere la ragione d di una progressione aritmetica che ha come estremi a e b e in mezzo ad essi k numeri è: $d=\frac{b-a}{k+1}$?

[Deriva dalla formula $d=\frac{a_n-a_1}{n-1}$ che, a sua volta, deriva dalla formula a_n = a₁ + (n − 1)d che, come sappiamo, consente di determinare un termine a_n a partire dal primo termine (a₁) di una progressione aritmetica.]

4. (B) Com’è che dalla formula $d=\frac{a_n-a_1}{n-1}$ per determinare la ragione di una progressione aritmetica a₁… a_n, costituita da n termini, si arriva alla formula $d=\frac{b-a}{k+1}$, con la quale si determina la progressione a… b che tra i due estremi a e b ha un numero k di termini nel mezzo?

[La progressione è costituita da k + 2 termini (i 2 termini sono gli estremi a e b; i k termini sono quelli nel mezzo); quindi basta sostituire, nella formula $d=\frac{a_n-a_1}{n-1}$, n con k + 2, a₁ con a, a_n con b. Fatte le sostituzioni, otteniamo $d=\frac{b-a}{(k+2)-1}$, da cui, facendo la somma algebrica di +2 e −1 al denominatore, otteniamo $d=\frac{b-a}{k+1}$.]